determinar varianza muestral

Tratamiento Digital de Señales
4º curso de Ingeniero de Telecomunicación

Relación de problemas Nº 1
1. Sea x una variable aleatoria de media mx y varianza σx2. Sean xi (i= 1, 2, …, N) N
medidasindependientes de la variable aleatoria x. Con la media muestral
definida como:
ˆ
mx =

1
N

N

∑ xi
i =1

determine si la varianza muestral:
ˆ2
σx =

1
N

N

∑ (x

i

ˆ
−mx ) 2

i =1

2
ˆ2
es sesgada, es decir, si E{σ x } = σ x

2. Calcule el espectro de potencia de cada uno de los siguientes procesos aleatorios
estacionarios en sentido amplio con secuenciasde autocorrelación:
a. rx(k)= 2 δ(k) + j δ(k-1) – j δ(k+1)
b. rx(k)= δ(k) + 2·0.5|k|
c. rx(k)= 2 δ(k) + cos(πk/4)

3. Calcule la secuencia de autocorrelación correspondiente a cada una de lasdensidades espectrales de potencia:
a. Px (e jw ) = 3 + 2 cos( w)
b. Px (e jw ) =

1
5 + 3 cos w

− 2z 2 + 5z − 2
c. Px ( z ) =
3 z 2 + 10 z + 3

4. Sea un sistema lineal invariante aldesplazamiento con la función de sistema:

1 −1
z
2
H ( z) =
1
1 − z −1
3
1−

que tiene como entrada un ruido de media nula con secuencia de
autocorrelación:
|k |

⎛1⎞
rx (k ) = ⎜ ⎟
⎝2⎠Sea y(n) el proceso de salida, y(n)= x(n)*h(n).
a. Calcule el espectro de potencia, Py(z), de y(n).
b. Calcule la secuencia de autocorrelación, ry(k), de y(n).
c. Calcule la densidad espectral depotencia cruzada, Pxy(z), y la correlación
cruzada correspondiente, rxy(k), entre x(n) e y(n).
5. Considere un proceso AR(2) x(n) descrito por la ecuación en diferencias:

x(n) = x(n − 1) − 0.5x(n − 2) + v(n)
siendo v(n) ruido blanco de media nula y varianza 0.5.
a. Escriba las ecuaciones de Yule-Walker del proceso.
b. Resuelva estas dos ecuaciones para obtener los valores de rx(1) yrx(2).
c. Calcule la varianza de x(n).

6. El espectro de potencia de un proceso AR x(n) es:
Px (e

jω

)=

2
σw

| A(e

jω

)|

2

=

|1− e

− jω

25
+ (1 / 2)e − j 2ω | 2...