Determinates

Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 5: Determinantes.

Ejercicios

1.- Demostrar que si f = (i1 . . . ir ) ∈ Σn , entonces ef = (−1)r−1 . Soluci´n. Sabemos que (i1 . . . ir ) = (i1 ir )(ir ir−1 )(ir−1 ir−2 ) · · · (i3 i2 ), esto es, f se expresa como o producto de r − 1 trasposiciones. Por definici´n de signatura, se tiene que ef = (−1)r−1 . o

2.- Calcular el productos de ciclos queaparecen en las siguiente expresi´n: o (1 2 3 4 5 6 7)(2 4 3 7 5 6).

Soluci´n. Al realizar el producto de ambos ciclos sale (1 2 3 4 5 6 7)(2 4 3 7 5 6) = (1 4 6 5 2 7). o

3.- Obtener las descomposiciones en ciclos disjuntos de la siguiente permutaci´n de Σ10 : o ( f= 1 4 2 3 3 2 4 1 5 9 6 10 7 7 8 5 9 6 10 8 ) .

Soluci´n. Siguiendo el m´todo explicado en el Apartado 1 del Tema 5, ladescomposici´n en ciclos o e o disjuntos es (1 4)(2 3)(5 9 6 10 8).

1 2 4.- Demostrar, utilizando las propiedades de los determinantes, que 3 4

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 = 160. 2 3

´ Introducci´n al Algebra Lineal. o

M.A. Garc´ S´nchez y T. Ram´ ıa a ırez Alzola.

Proyecto OCW de la UPV/EHU.

2 Soluci´n. o 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2

Determinantes

4 10 1 10 = 2 Sumamos todas lascolumnas a la primera 10 3 10

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 2 3

1 2 3 4 1 3 4 1 = 10 1 4 1 2 Sacamos 10 factor comun de la columna primera 1 1 2 3 1 2 3 4 0 1 1 −3 = 10 0 2 −2 −2 Restamos la primera fila a las dem´s a 0 −1 −1 −1 1 1 −3 = 10 2 −2 −2 = 160. Desarrollamos por la primera columna −1 −1 −1

5.- Sea A ∈ Mat4×4 (R) con columnas A(i) para i = 1, . . . , 4, tal que det(A) = 4, calcularrazonadamente: (i) det(A−1 ). (ii) det(2A). Soluci´n. (i) det(A−1 ) = det(A)−1 = o (ii) det(2A) = 24 det(A) = 26 . 6.- Demostrar que si A ∈ Matn×n (K) tiene una fila (columna) en la que todas las entradas son 0K , entonces det(A) = 0. (Pista: usar las propiedades de los determinantes). Soluci´n. Es suficiente con escribir los elementos de la fila (columna) i con todas las entradas son 0K o como 0K +0K yaplicar la propiedad 5 de los determinantes. Entonces, det(A) = 2det(A), luego det(A) = 0K . Problemas a b 1.- Sea A =  c d  −b a −d c −c d a −b  −d −c  . b a 1 . 4

(i) Demostrar que AAt = (a2 + b2 + c2 + d2 )I4 . (ii) Empleando el apartado anterior, deducir cu´nto vale |A|. a Soluci´n. Para demostrar (i) es suficiente con observar que o  2 a + b2 + c2 + d2 0 0 0 a2 + b2 + c2 + d2 0  AAt = 0 0 a2 + b2 + c2 + d2 0 0 0  0 0  . 0 2 2 2 2 a +b +c +d

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Determinantes

3

(ii) De (i) deducimos que det(AAt ) = det((a2 + b2 + c2 + d2 )I4 ) = (a2 + b2 + c2 + d2 )4 . Pero det(AAt ) = det(A)det(At ) = det(A)2 , ya que det(A) = det(At ). Entonces, det(A) = ±(a2 + b2 +c2 + d2 )2 .   ab ab  a u . Deducir cu´l es su rango, seg´n los diferb2 2 a

ab  ab 2.- Calcular el determinante de la matriz  2 a b2 entes valores de a y b. Soluci´n. Es f´cil ver que o a ab ab a2 b2 b2 a2 ab ab a2 b2 ab ab

b2 a2 ab ab

a2 b2 ab ab

ab ab = −(a − b)4 (a + b)4 . b2 a2

Por tanto, si a ̸= ±b, rgA = 4. Si a = b ̸= 0, entonces rgA = 1. Si a = b = 0, rgA = 0. Porultimo, si ´ a = −b ̸= 0, entonces  2  −a a2 a2 −a2 2 2 2 2 a a −a   −a A= 2 , a −a2 −a2 a2 a2 −a2 −a2 a2 que clarmente es de rango 1.   n n  n . . . . n  0 0  0 . . . n n!.

1 n  3.- Calcular el determinante de A ∈ Matn×n (R), siendo A =  n . . . n Soluci´n. o 

n 2 n . . . n

n n 3 . . . n

... ... ... ...

1−n 0 0  0 2−n 0   0 0 3−n |A| = . . A(i) →A(i) −A(n),i=1,...,n−1   . . . . . . . n n n = (1 − n)(2 − n) · · · (−3) · (−2) · (−1) · n = (−1)

... ... ... ...
n−1

−1  1 4.- Hallar, si es que existe, por dos m´todos distintos la matriz inversa de: A =  e 1 1 Soluci´n. Si calculamos o −1 1 1 1



0 −1 1 1

1 0 −1 1

 0 1   0 −1

0 1 0 −1 0 1 = −3. 1 −1 0 1 1 −1

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