dexterdearlydextex

Monografia - Matemática Discreta
• Tema: Álgebra de Boole
• Profesores:
Demalde, Isabel Remedios
Jimenes, Monica Noemí

• Alumna:
Nombre: Medina Karina Sofia
DNI: 37004499
Legajo: EISI179

Indice

• Introducción..................................................1

• Definición Axiomática..................................2

• Teoremas del Álgebra Booleana...................4

•Función Booleana.........................................8

• Álgebra de Boole Aplicada a la informática.11

• Bibliográfia..................................................12

Introducción
George Boole (1815-1964) fue el creador de un sistema algebraico para el estudio
sistemático de la lógica que hoy se usa en campos tales como las técnicas digitales, el
álgebra de conjuntos y lateoría de las probabilidades.
En los últimos cien años hay pocas obras de matemática que hayan tenido mayo
impacto. A mediados del siglo XX el álgebra Booleana resultó de una gran
importancia práctica, importancia que se ha ido incrementando hasta nuestros días, en
el manejo de información digital. Gracias a ella, Shannon (1930) pudo formular su
teoría de la codificación y John Von Neumann pudoenunciar el modelo de
arquitectura que define la estructura interna de los ordenadores desde la primera
generación.
El álgebra de Bolee constituye una formalización apropiada para representar
información digital y proporciona un modelo matemático para determinar la
respuesta de circuitos lógicos, independientemente del tipo de dispositivo que
constituyen sus correspondientes circuitos físicos.Entre las aplicaciones de esta álgebra pueden contarse: formulación algebraica de los
requerimientos que debe cumplir un circuito lógico, análisis y síntesis de los circuitos
combinacionales, comparación de distintas realizaciones cicuitales, minimización del
número de cables y dispositivos de los circuitos, codificación de información digital.

1

Definición Axiomática

Dado unconjunto B distinto del vació y las operaciones suma (+) y producto ( . )
cerradas en B, decimos que la estructura (B,+, .) es un Álgebra de Boole si y solo si:
∀ a, b ,c ∈ B se verifican los siguientes postulados:
➢ Postulado 1-Existencia de Neutros:

∀ a ∈ B ; ∃ 0,1 ∈ B , llamados neutros de las operaciones (+) y ( .) respectivamente
tal que:
• (a + 0 = 0)
• (a . 1 = a)
➢ Postulado2-Conmutatividad:

∀ a,b, ∈ B;
• a+b=b+a
• a.b=b.a
➢ Postulado 3: Asociatividad:
∀ a,b,c ∈ B ;
• a + (b + c ) = (a + b) + c
• a . (b . c ) = (a . b) . c

2

➢ Postulado 4: Distributividad:
∀ a,b,c ∈ B ;
• a + (b . c ) = (a + b) . (a + c)
• a . (b + c ) = (a . b) + (a . c)

➢ Postulado 5: Existencia de Complementos:
∀ a ∈ B , ∃ ā ∈ B tal que
• a+ā=1
• a.ā=0

3

Teoremas del álgebraBooleana
•

Teorema 1:Principio de dualidad

Tesis: Dada una identidad deducible de los postulados de un álgebra Booleana, por lo
tanto valida, se obtiene otra identidad igualmente valida remplazando en la primera
operación (+) por la operación (.)y viceversa , y el elemento neutro 0 por el elemento
neutro 1 y viceversa.
La demostración de este teorema se obtiene de inmediato observando lasimetría de
los postulados con respecto a las dos operaciones y a los dos elementos neutros. Si
una proposición o una expresión algebraica se obtiene de otra por la sola aplicación
del principio de dualidad, la segunda se llama dual de la primera. En este caso, es
claro que la primera es también dual de la segunda.
•

Teorema 2: Ley de idempotencia para la operación (+)

∀ a ∈ B; a + a =a
Demostración
a + a = (a +a) . 1

Postulado 1

= (a + a). (a + a’)

Postulado 5

= a + (a . a’)

Postulado 4

= a +0

Postulado 5

=a

•

Postulado 1

Teorema 3: Ley de idempotencia para la operación (.)

∀ a ∈ B; a . a = a
Demostración
a + a = (a .a) + 0

Postulado 1

= (a . a)+ (a . a’)

Postulado 5

= a . (a + a’)

Postulado 4

= a .1

Postulado 5...