dfadf

Ecuaciones diferenciales

1.5 ED D E B ER N O U LLI

Introducción
 Forma general de la ecuacion de Bernoulli

 Donde “n” es cualquier número real.para

n=0 on=1 la Ec. Es lineal.
 La sustitucion u =y^(1-n) reduce
cualquier ecuación de la forma original a
una ecuación lineal.

Procedim iento de solución
1.Estandarizar la E.D
2. Hacer consideración U=y^(1-n);
3.
4.
5.
6.

^despejar “y”.
Derivar “y del paso anterior.
Sustituir en (1) “u” y “dy” del paso
2 y 3.
Simplificar yestandarizar
Resolver como lineal.

Ejem plo de solución de la E.D .
de Bernoulli
dy
+y=x 2 y 2
dx
Estandarizamos :
dy y
1. + =xy 2 ......(1)
dx x
2...n  2; u y1 n ...ó... y  u 1
x

dy dy du d (u 1 ) du
du
3.... 


 u  2
dx du dx
dx dx
dx
4...sustituyes.en.la.ec (1).nos.queda :
du (u 1 )
u

=x(u 1 ) 2  x(u2 )
dx
x
du 1
5...  u=-x.......es tan darizamos.. y..transoformamos.a.lineal
dx x
6...solucionamos.como.tal
2

Solución continuación

du 1
 u=-x..... f .i. e
dx x
d ( x 1u )
x
   1
dx
x
integrando :

 1 dx
x

1

 x u   x; u   x  cx
2

sutitucion.de...u  y (1 n )
1
y 2
 x  cx

1
 x  
x
1Ejercicios

RED U CCIÓ N A SEPARACIÓ N D E
VARIABLES
1. Escoger u ; u=Ax+By+c
2. Derivar Dx[u]=du/dx= a+dy/dx;
3.
4.
5.
6.

despejar dy/dx=-a+du/dx
Sustituir u ydy/dx del paso 2 en la
ec (1)
Separar variables e integrar ambos
lados de la igualdad.
Despejar u
Sustituir valor de u del paso 1

EJEM PLO RED U CCIÓ N ASEPARACIÓ N D E VARIABLES
 dy/dx=(x+y+3)^2
 u=(y); du/dx=-2+dy/dx

en (1)
 2+du/dx=-u^2-7;
 du/(u^2-9)=dx
 Fracciones parciales


sustituyendo

ejercicios