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Actividad 4: Aplicaciones de la inversa de una matriz
Objetivo: El estudiante aplicará la inversa de una matriz para despejar ecuaciones con matrices, y para la solución de sistemas de ecuacioneslineales, a través de la manipulación de un software matemático.
Instrucciones:
1. Criptografía.
Un proceso para encriptar un mensaje secreto es usar cierta matriz cuadrada cuyos elementos sonenteros con elementos enteros en la inversa. Se recibe un mensaje, se asigna un número a cada letra (por ejemplo, A=1, B=2, etcétera, y espacio=27), se arreglan los números en una matriz de izquierda aderecha en cada renglón, donde el número de elementos en el renglón en igual al tamaño de la matriz de código, se multiplica esta matriz por la matriz de código por la derecha, se transcribe el mensaje auna cadena de números (que se lee de izquierda a derecha a lo largo de cada renglón), y se manda el mensaje.
La persona que debe recibir el mensaje conoce la matriz de código. Él o ella arreglan elmensaje encriptado en una matriz de izquierda a derecha en cada renglón, en donde el número de elementos en un renglón coincide con el tamaño de la matriz de código, multiplica por la derecha por elinverso de la matriz de código y puede leer el mensaje decodificado (de izquierda a derecha por cada renglón).
a) Si se arregla el mensaje en una matriz leyendo de izquierda a derecha de manera que elnúmero de elementos en un renglón coincide con el tamaño de la matriz de código, ¿por qué debe multiplicarse por la derecha?
b) ¿Por qué al multiplicar por la inversa se decodifica el mensaje (esdecir, se deshace el encriptado)?
c) Usted ha recibido el siguiente mensaje que fue encriptado usando la matriz dada. Decodifíquelo.

Mensaje:

Nota. El primer renglón de la matriz que necesitaconstruir es .
Ahora continúe con el segundo renglón.

2. Sistemas de ecuaciones lineales
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

a) Expresa el sistema como el producto de la matriz...