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Initiation au raisonnement déductif en 6e-5e
On trouvera dans ce document une partie du support d’un stage de formation des formateurs sur le nouveau (il l’était à l’époque) programme de sixième qui s’est déroulé dans l’académie d’Orléans-Tours en . Pour ce module, qui fut animé par André Pressiat, l’ouvrage cité ci-dessous est une référence constante : Arsac, Chapiron, Colonna, Germain,Guichard, Mante. Initiation au raisonnement déductif au collège, Presses universitaires de Lyon, IREM de Lyon.

TEXTES D’EXERCICES • Pour les élèves
Exercice . — Dans l’expression n × n − n + 11, si on remplace n par n’importe quel entier naturel, obtient-on toujours un nombre qui a exactement deux diviseurs ? Exercice . — Si n est un nombre pair, n × n est-il toujours un nombre pair ? Justifieta réponse. Exercice . — Existe-t-il un triangle dont les côtés mesurent 5 cm, 9 cm et 4 cm ? Exercice . — Trace un rectangle ABCD tel que AB = 8 cm et BC = 5 cm. Place un point E sur [AC] tel que AE = 3 cm. Trace la parallèle à (AD) qui passe par E ; elle coupe [AB] en N et [DC] en L. Trace la parallèle à (AB) qui passe par E ; elle coupe [AD] en M et [BC] en K . Parmi les deux rectangles EMDLet ENDK , quel est celui qui a la plus grande aire ? Exercice . — ABCD est un carré tel que AB = 10 cm. O est le point intérieur au carré ABCD tel que le triangle OAB soit équilatéral. On recherche la mesure x de l’angle COD. Paul a trouvé 149°. Es-tu d’accord avec lui ? Exercice . — Trace un triangle BOD rectangle en O tel que BO = 17,5 cm et DO = 10,5 cm. Sur [OB] place le point A tel que AB =7,5 cm. Sur [OD] place le point C tel que CD = 4,5 cm. Trace les segments [AD] et [BC]. Ils se coupent en I. Quel est celui des triangles ABI et CDI qui a la plus grande aire ? Exercice *. — Trouve un moyen permettant de calculer le nombre de carreaux grisés d’une figure construite sur le modèle ci-dessous, qui soit valable quel que soit le nombre de carreaux sur le côté du carré.

DESCRIPTIONDE LA FORMATION • Proposée par André Pressiat pour les professeurs
Consignes Question 1. — Ces sept textes d’exercices ont été proposés à des élèves de sixième-cinquième, dans le but de leur apprendre les « règles du débat mathématique ». Déterminer, pour chacun des exercices, la ou les règles du débat mathématique que sa résolution devrait permettre de mettre en évidence. Question 2. — Cesexercices ont été expérimentés en classe avec un dispositif commun, concernant les phases de travail des élèves et les interventions du professeur. Si vous aviez à utiliser ces énoncés dans le même but (apprentissage des règles du débat mathématique), quel dispositif en terme de travail des élèves et d’interventions du professeur adopteriez vous ? Objectifs La question  vise à faire réfléchir sur ce quepeuvent être les règles du débat, ce n’est évident a priori pour personne, surtout pas pour les élèves et il fallait que les professeurs prennent conscience de ces difficultés. La question  vise, une fois ces difficultés prises en compte, à faire réfléchir sur les moyens à mettre en œuvre pour que les élèves les surmontent. Les modalités de gestion de la classe qui sont proposées sont complexes etconsommatrices de temps. Il s’agissait de faire prendre conscience de la nécessité de cet investissement « lourd ». Nécessité justifiée par les difficultés du sujet abordé mais aussi par son importance extrême.

CONTENUS INSTITUTIONNALISÉS • Règles du débat pour les élèves
¶ Un énoncé mathématique est soit vrai soit faux. ¶ Un contre-exemple suffit pour invalider un énoncé. ¶ En mathématiques, pourdébattre on s’appuie sur un certain nombre de propriétés ou définitions clairement énoncées sur lesquelles on s’est mis d’accord. ¶ En mathématiques, on ne peut pas décider de la validité d’un énoncé en s’appuyant sur le fait que la majorité des personnes présentes sont persuadées que cet énoncé est vrai. ¶ En mathématiques, des exemples qui vérifient un énoncé ne suffisent pas à prouver qu’il est...