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El 8  de agosto de 1900, se llevó a cabo en París el segundo Congreso Internacional de Matemáticas. David Hilbert pronunció entonces una conferencia que llevaba por título Problemas Matemáticos. Los 23 problemas de esa lista han sido, desde entonces,  objeto de culto por parte de toda la comunidad matemática.
Tres años antes de la famosa conferencia de Hilbert, Henri Poincaré (1854-1912), habíaescrito una conferencia para el congreso de Zurich en la que analizaba las relaciones entre el Análisis Matemático y la Física Matemática. Cuando Hilbert fue invitado para la ponencia central del congreso, consideró que lo mejor para corresponder a tal honor era hacer mención a las ideas de Poincaré, ampliándolas con un tratamiento alternativo. Fue su amigo Minkowski quien le disuadió de estaidea, proponiéndole una línea de actuación completamente diferente. Le sugirió que tratara de enumerar cuáles iban a ser los temas o problemas a  los que deberían de enfrentarse los matemáticos en un futuro próximo. De esta forma, Minkowski consiguió que durante más de cien años se estuviera mencionando el nombre de Hilbert entre los matemáticos.
Hilbert hizo hincapié en aquellas partes de lasMatemáticas que consideraba vitales para su posterior desarrollo. El criterio que rigió la elección de los problemas fue, por un lado, que debían ser los suficientemente difíciles, pero no totalmente inaccesibles, como para atraer la atención de los matemáticos profesionales; y, por otro lado, su enunciado debía ser lo suficientemente simple como para poder “explicar estos problemas a la primera personaque encontremos al salir a la calle”. El primer objetivo lo consiguió, el segundo, que casi nunca pasa de ser una mera declaración de intenciones, raramente lo consigue ningún matemático (es como si los matemáticos sólo transitaran por una calle que uniera directamente la Universidad de Gotinga con el Centro de estudios avanzados de Pricenton).
Aunque, por falta de tiempo, en la conferenciaHilbert sólo pudo plantear 10 problemas, la exposición completa constaba de una lista de 23, que se pueden clasificar en cuatro grandes grupos: un primer grupo está dedicado a los fundamentos de las Matemáticas, que incluiría los problemas 1 al 6 y el 18; el segundo grupo, a la Teoría de Números, con los problemas del 7 al 12; el tercer grupo, los problemas 13 al 17, entrarían de lleno en lo que paraHilbert era la Matemática pura, el Álgebra y la Teoría de Funciones; y  un último grupo, que haría referencia a los problemas del 19 al 23, son básicamente problemas de Análisis. Muchos de estos problemas no se pueden considerar como tales en un sentido estricto, sino más bien como sugerencias para abrir diferentes campos de investigación matemática. Con el tiempo se han resuelto todos exceptotres, el 6, el 8 y el 16.
Existen diferentes versiones de los enunciados. Ello es debido a que en los últimos años las Matemáticas han sufrido una evolución que ni el mismo Hilbert hubiera podido imaginar.  A continuación se enumera una relación detallada de los 23 problemas. En algunos casos se explican con cierto detalle, aunque tomando algunas licencias matemáticas para facilitar su comprensión.En los demás, debido a su enorme complejidad y tecnicismo matemático, aparece sólo un escueto enunciado y, en los casos en que ha sido resuelto, también el nombre del matemático que lo resolvió y la fecha en que fue publicado.
Problema 1
Resolver la hipótesis del continuo de Cantor.
Este problema hace referencia al número de elementos que tiene un conjunto. Por ejemplo, el conjunto {a, b, c, d}tiene 4 elementos y se dice que su “cardinal” es 4. Es obvio que el concepto de cardinal de un conjunto toma interés en cuanto empieza a hablarse de conjuntos que tienen un número infinito de elementos. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales , tiene un cardinal que es el mismo que tiene el conjunto de los números pares P. Una aserción de este tipo se demuestra estableciendo una...