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LA DEMOSTRACIÓN
LA

Qué piensan de ella los profesores.
Cómo la incorporan a sus clases.

César Flores S.
Depto. De Matemática
Universidad de Concepción
SEMEDU CMM
7 Agosto 2007

LA MUERTE DE LA DEMOSTRACIÓN
LA

¿Es importante la Demostración en
en
Matemáticas?
Matem
► Matemático

profesional (Indignado):

¡Obvio!
► Profesor:
Profesor:

No hay tiempo.
No
Sonaburridas.
Son
No promueven el aprendizaje.
No
Sólo para los que se dedican a las matemáticas.
Ell joven de hoy en día quiere “rápido el resultado”
E
quiere

Experiencia 1
Experiencia
► ONM

2005

►

Problema: Sean a,b,c,d números reales tales que
Sean a,b,c,d
meros
a>b y c>d. Demostrar que ac+bd>ad+bc.
ac

►

300 alumnos de “elite” de la región del Biobio.
300
del BiobioSólo 3 lo resolvieron.
Sobre el 80% creyó haberlo resuelto.
Método de “ensayo y error”.
todo

►
►
►

Respuesta de Muestra
Respuesta

Razonamiento Matemático
Razonamiento
► (D.
(D.

L. Ball / H. Bass 2003).
Ball H. Bass
► Conjunto de prácticas y normas colectivas
cticas
(trascienden al individuo y a la idiosincracia) que
idiosincracia que
están basadas en la disciplina.
estRazonamiento de indagación: descubrimiento,
Razonamiento
descubrimiento,
exploración, realización de conjeturas.
exploraci
Razonamiento de justificación: justificación y
justificaci
Razonamiento
demostración de afirmaciones.
demostraci

Demostración: Su significado
Demostraci
► Derecho:
Derecho:

evidencias que no dejan lugar a duda

razonable
razonable
► Ciencia: Algocomprobado mediante diversos
Ciencia:
experimentos.
experimentos.
► …distintos “dominios discursivos”
► Matemáticas:

Más que todo lo anterior (riguroso
que
proceso deductivo a partir de hechos y
definiciones claramente establecidos).
definiciones

¿Demostración = formalismo y rigor?
►

Dieudonné (1971):
“… todo matemático intelectualmente íntegro deberá presentar sus
“…
ticopresentar
razonamientos en forma axiomática, e.d, en una forma donde las
razonamientos
tica, e.d en
proposiciones están regidas sólo por las reglas de la lógica,
proposiciones
gica,
descartando deliberadamente toda “evidencia” que pueda sugerir la
que
intuición a su mente. “
intuici
su

►

Bourbaki (Años 60-70):
Énfasis en abstracción (Estructuras algebraicas).
Énfasis en rigor yformalidad (contrapuesto a operatoria y
nfasis
manipulación).
manipulaci
Conjuntos, Álgebra (más rigor, menos ambigüedad).
Desarraigo de la intuición (difícil de formalizar)
Desarraigo

► M.
► “…

de Guzmán:
n:

la patente carencia de intuición espacial fue
espacial
otra de las desastrosas consecuencias del
alejamiento de la geometría de nuestros
alejamiento
de
programas … llosinconvenientes surgidos con la
os
introducción de la llamada matemática moderna
introducci
tica
superaron con mucho las cuestionables ventajas
que se había pensado conseguir como el rigor en
que
pensado
la fundamentación …”
fundamentaci

Experiencia 2
Experiencia
► ¿Son
Son

realmente congruentes SIEMPRE los
ángulos opuestos por el vértice?
Inseguridad.
Inseguridad.
Poca claridadde conceptos.
Poca
Memorización.
Memorizaci

¿Cómo se enseña la matemática hoy
tica
en día en Chile?
en
► Teorema:
Teorema:

Los ángulos interiores de un
ngulos
triángulo suman 180º.
tri

Método de enseñanza
1.
2.
3.
4.
5.

Se enuncia el teorema
Se verifica en varios casos
Se realizan muchos ejercicios rutinarios
Se
para “internalizar” el resultado.
Se dice que setrata de resultados muy
Se
útiles en la vida diaria.
Eventualmente, se diseñan actividades
an
adicionales que permitan verificar el
teorema en distintas situaciones.
teorema

¿ Demostración = Rigor ?
►

P. Deligne: (sobre una de sus propias demostraciones)
P. Deligne

“Je serais reconnaissant à toute personne ayant compris cette
démonstration de me l’expliquer” (Le agradecería, al...