Dfhd

DERIVADA DE UNA FUNCION.


| | | |y | | | | | | | | | | | | | |  |  |  |  | |  |  |  |  |  |  |  |x2 |y2 |  |P2 | | |  |  |  |  | |  |  |  |  |  |  |  |  |  | | | | |  |  |  |  | |  |  |  |  |  |  |  |  |  |y2 | |  | |  |  |  |  | |  |  |  |  |  |  |  |  |  |- | |  | |  |  |  |  | |  |  |  |  |  |  |  |  |  |y1 | |  | |  |  |  |  | |x1 |y1 |P1 |  |α  |  |  |  |  |  |  |  | |  |  |  |  | |  | |  |  |  |x2 |- |x1 |  |  |  |  | |  |  |  |  | |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | |  | |  |  |  |  | |  |  | |  |  |  |  |  |  |  |  |  | |  |  |  |  | |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | |  |  |  |  | |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | x | | | | | |O | | | | | | | | | | | | | |  |  |  |  | | |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | |  |  |  |  | | |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | |  |  |  |  | | | |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | |  |  |  |  | | |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | |  |  |  |  | | |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | |  |  |  |  | | |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | | | | | | | | | | | | | | | | | |  | |





















Recordemos que m (pendiente de una recta) se obtiene mediante:

m = tgα [pic]
Si llamamos Δx = x2 –x1 y a Δy = y2 – y1Entonces [pic]
Si analizamos cuidadosamente (muy cuidadosamente) a la siguiente gráfica. Primero no está hecha a escala, no sería posible ilustrar intervalos tan pequeños. Observa la inclinación de la recta tangente. ¿Qué sucede con la inclinación de la recta secante conforme los intervalos son cada vez más pequeños?






Δx sec 1 secante 1secante2

Δx sec 2 secante3

secante4
Δx sec 3
tangente
Δx sec 4 y = f(x)
en
0 [x1, f(x1)]
2.00001 2.0001 2.001 2.012.1




A MEDIDA QUE X2 → X1 QUE IMPLICA QUE ΔX → 0+, LA RECTA QUE UNE LOS PUNTOS CORRESPONDIENTES ES UNA SECANTE, QUE CONFORME INDICA LA GRÁFICA SE VA ACERCANDO CADA VEZ MAS A LS POSICIÓN DE UNA RECTA TANGENTE.
ADEMAS CON X → 0+ LA PENDIENTE DE LA SECANTE TIENDE A SER LA PENDIENTE DE LA TANGENTE, ES DECIR: mS → mT NOTESE QUE LA RECTA SECANTE Y LA RECTA TANGENTE SONCOSAS DIFERENTES PERO [pic]

Este concepto es muy importante pues hemos llegado ya al CONCEPTO DE DERIVADA.
El valor de [pic] se define como derivada de “y” con respecto a “x” y se denota por. [pic] Dicha notación se atribuye a Leibniz codescubridor (junto con Newton) del Cálculo.

La idea se puede denotar con Dxy atribuida a Cauchy; también y’ o f’ (x) ideada por Lagrange, estoes[pic]en base a esta definición podemos ya derivar funciones.



EJEMPLO.

Obtener la derivada de la función y = x2

1) Primero tomemos un valor fijo x = x, y encontremos su imagen.
[pic]
2) Consideremos ahora otro valor para x pero diferente a x1, lo llamaremos x2 y encontraremos su imagen:
¿!¡?


Si x = x2 y2 = (x2)2 = (x1 + Δx)2
3) Encontremosahora Δy = y2 – y1
Δy = y2 – y1 (x2)2 – (x1)2 = (x1 + Δx)2 – x1
= x12 + 2x1 Δx + (Δx)2 - x12
Δy = 2x1 Δx+ (Δx)2
Apliquemos ahora la fórmula para calcular la pendiente de la recta secante.

[pic]
[pic]
4) Únicamente faltará aplicar el límite y habremos llegado a la derivada.

[pic], Pero como x1 puede ser cualquier valor, y’ = 2x (aquí esta la derivadade la función y = x2. Pero ¿Qué significa? ¿Qué interpretación tiene?

¡Atención! y’ = 2x es como una fórmula mediante la cual podemos la PENDIENTE de la RECTA TANGENTE a la curva en un PUNTO CUALQUIERA. Por ejemplo, pretendemos trazar una recta tangente a la curva en el punto x = 1. ¿Cuál será la pendiente de dicha recta tangente?
La derivada me lo dice:
y’ = 2x si x =1 entonces y’ = 2....