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Tema 1 – Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss – Matemáticas CCSSII – 2º Bach.

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TEMA 1 – SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS
RESOLVER E INTERPRETAR GEOMÉTRICAMENTE SISTEMAS LINEALES EJERCICIO 1 : Resuelve los siguientes sistemas y haz una interpretación geométrica de los mismos: 3x − 2y = 5  − x + 3y − z = 4  2x − y + z = 3  x + 2z = 3       a ) x + 4y = 4  c) x + 4y = 5d) x + 2y − z = 4  b) x + y = 2     2 x − 6y + 2z = 3  x − 8 y + 5 z = −6    − x − 2 y = −3   x − 2 y = 0 3x − z = 4  x + y + z = 1     f) y + 3x = 2 e ) 3x − y = 5 g) 2 x − 3z = 5    2 y + 5z = 2  x − y = 1  Solución: a) Resolvemos el sistema por el método de Gauss:
 3 −2  1 4  −1 − 2 
1
a

5   4  →  − 3 

→

2

a

1 4  a − 7 ⋅ 3 0 0  02 a 3 

a 4 4  1 1  1 4 4     a 1  3 − 2 5  → 3 ⋅ 1a − 2 a  0 14 7  →      a  a a  3  −1 − 2 − 3 1 + 3 0 2 1  4  x + 4 y = 4 1  0 →  → y = ; x+2=4 → x =2  2 2y = 1   1 

2

a

 1 El sistema es compatible determinado. Su solución es  2, .  2
 1 Geométrica mente, son tres rectas que se cortan en el punto  2, :  2

b) Se trata de un sistemade dos ecuaciones con tres incógnitas . Pasando la x al 2 o miembro en las dos ecuaciones, tenemos que :
3 1 2z = 3 − x   z= − x 2 2  → y = 2 − x  y = 2−x

Por tanto, se trata de un sistema compatible indeterminado, cuyas soluciones son:
x =λ, y = 2−λ, z = 3 1 − λ , con λ ∈ R 2 2

Geométricamente, son dos planos que se cortan a lo largo de una recta: c) En primer lugar, lo resolvemosmediante el método de Gauss:
−1 3  1 4   2 −6 

−1 4  0 5 →  2 3 

−1 3  a a 2 +1  0 7  a a  3 + 2 ⋅1  0 0
1
a

4 − x + 3y − z = 4  −1 9  → 7y − z = 9  0 11 0 x + 0 y + 0 z = 11  −1

La última ecuación es imposible. El sistema es incompatible. Geométricamente, el sistema representa tres planos que se cortan dos a dos, pero sin ningún punto común a los tres.

Tema1 – Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss – Matemáticas CCSSII – 2º Bach. d) Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss:
2  1  1  →
3
a

2

−1 2 −8
1
a

3   −1 4  →  5 − 6  1 2 −5 0

1  a 1 2  a  3 1
2
a

2 −1 −8

−1 1 5

4   3  →  − 6 

1  a a 2 − 2 ⋅1 0  a a  3 − 1 0
1
a

2 −5 − 10

−1 3 6

4   −5  →  − 10  

1  02  a  − 2 ⋅ 2 0
a

−1 3 0

4   x + 2y − z = 4   o − 5 →  Pasamos la z al 2 miembro:  − 5 y + 3z = −5  0  

x + 2y = 4 + z

1  3   x = 4 + z − 2y = 4 + z − 21 + z  = 2 − z  5  5   − 5 y = −5 − 3 z  y = 1 + 3 z  5

El sistema es compatible indeterminado. Sus soluciones son: x = 2 − λ , y = 1 + λ , z = λ , con λ ∈ R Geométricamente, representa tres planos quetienen una recta en común:
1 5 3 5

e) Resolvemos el sistema por el método de Gauss:
1  3  1 

−2

0  −1 5 →  − 1 1 

1  a a 2 − 3 ⋅1 0  a a  3 − 1 0
1
a

−2 5 1

0  5 →  1 

2

a

1  a − 5 ⋅ 3 0  0 a 3 
1
a

−2 0 1

0  x − 2y = 0 x = 2 y = 2   0 → →  →    y = 1 y =1    1

El sistema es compatible determinado. La solución es(2, 1). Geométricamente, representa tres rectas que se cortan en el punto (2, 1):

f) Se trata de un sistema de dos ecuaciones con tres ncógnitas. Pasando la z al 2 o miembro en las dos ecuaciones, tenemos que :
4 1  3x = 4 + z  x = + z  3 3   → y = 2 − 3z  y = 2 − 3z  

El sistema es compatible indeterminado. Sus soluciones son: x = + λ , y = 2 − 3λ , z = λ , con λ ∈ R

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1 3Geométricamente, son dos planos que se cortan a lo largo de una recta:

Tema 1 – Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss – Matemáticas CCSSII – 2º Bach. g) Resolvemos el sistema mediante el método de Gauss:
1 1  2 0  0 2  1 −3 5 1  5 →  2 
2
a

3

1  a − 2 ⋅ 1 0  0 a 3 
1
a

1 −2 2

1 −5 5

1  3 →  2 

1  a 0 2  a a  2 + 3 0
1
a

1 −2 0...