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CAPITULO II
ESPACIOS VECTORIALES
Definición:
Se llama Espacio Vectorial Real o Espacio Lineal sobre , a todo
conjunto no vacío  , en el cual pueden definirse dos operaciones, a
saber Suma y Multiplicación por Escalar, las cuales satisfacen las
siguientes condiciones.
Dados  ,  ,    ;  ,    , se cumple que:
1.

     y está únicamente determinado

2.

   y estáúnicamente determinado

3.

             



     

5.


Existe Neutro Aditivo en  , el cual se denota por  , tal que

   

6.

Para cada  en  existe Inverso Aditivo de  , el cual se denota por

  tal que        

7.

         

8.

      

9.

    

10.

  

Observaciones:1.

Si  es un Espacio Vectorial los elementos de  se llaman vectores.

2.

Se pueden definir también Espacios Vectoriales sobre  ,  en lugar
de .

3.

Se estudiarán los Espacios vectoriales sobre . (E.V.R.)
1

Ejemplos:
1.

 con la suma y multipliación usual es un E.V.R.

2.

 con

  =    
                      
                           
                 
es un E.V.R.

3.

  con la suma y multiplicación por escalar usual es un E.V.R.

4.

                   
con la suma y multiplicación por escalar usual es un E.V.R.

5.

             es función 
Con fla función nula y con la suma y multiplicación por escalar usual
es un E.V.R.

6.

              es continua 
con la suma y multiplicación por escalar usual es un E.V.R.

7.

             es derivable
con la suma y multiplicación por escalar usual es un E.V.R.

8.

      

  es invertible

con la suma y multiplicaciónpor escalar usual no es un E.V.R., pues

 .
Ejemplo:
2

Demuestre que:
              
con la suma y multiplicación por escalar usual de   es un E.V.R
Solución:
Sean          ,   .
Se cumple que:
1.

               y
               










Por tanto,          .
2.      
        
 
 

3.

Queda de ejercicio mostrar que el resto de las condiciones se
cumplen
Por tanto,  es un E.V.R.

Ejemplo:
              
con la suma y multiplicación por escalar usual de   , no es un E.V.R.
Solución:
Sea     .
Se tiene que          y
        
   
Por tanto,        ,luego,  no es un E.V.R.
Ejemplo:
3

Demuestre que



           




 
es un E.V.R.
Solución:
Sean                 .
Como             tal que   
 
  
Como             tal que  







  
Por otro lado,
1.


  
 
  

  
 
 
  


        

V

Por tanto,             
2.

     =      y



 
     




 



 

       V
Por tanto,        .
3.

Queda de ejercicio mostrar que el resto de las condiciones se
cumplen
Por tanto,  es un E.V.R.

Teorema:
4

Sea      un E.V.R. Se cumple que:
1.
2.
3.
4.
5.
6.


 es único
El inverso aditivo es único
                 


          

          


                     

Definición:
Sea  un E.V.R. y    ,   .
Se dice que  es un subespacio vectorial de  , si  es un E.V.R
con las mismas...