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Variable aleatoria continua y sus distribuciones de probabilidad.

Las distribuciones de probabilidad se clasifican como continuas y discretas. En la distribución de probabilidad discreta está permitido tomar sólo un número limitado de valores.

En una distribución de probabilidad continua, la variable que se está considerando puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado.

Lasdistribuciones continuas son una forma conveniente de presentar distribuciones discretas que tienen muchos resultados posibles, todos muy cercanos entre sí.

Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de una presentación a otra, sin seguir una secuencia predecible. Los valores de una variable aleatoria son los valores numéricos correspondientes a cada posibleresultado de un experimento aleatorio.

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible, y estas probabilidades deben sumar 1.

Variable aleatoria continúa
Es aquella que puede tomar infinitos valores dentro de un intervalo de la recta real.

En el caso de variables aleatorias continuas no tiene sentido plantearseprobabilidades de resultados aislados. La probabilidad de valores puntuales es cero.   

Dicha probabilidad se conoce mediante una curva llamada función de densidad y suponiendo que bajo dicha curva hay un área de una unidad. 

 Conociendo esta curva, basta calcular el área correspondiente para conocer la probabilidad de un intervalo cualquiera.

El caso continuo no es posible asignar una probabilidad acada uno de los infinitos posibles valores de la variable aleatoria . y que estas probabilidades sumen uno (como en el caso discreto), teniendo por tanto que utilizar una aproximación diferente para llegar a obtener la distribución de probabilidad de una v.a. continua

Sea X una variable continua. Si existe una función f(x) tal que verifica:
Diremos que f(x) es la función de densidad de lav.a. continua X.
En el caso continuo la suma de las densidad o el área bajo la curva f(x) debe ser igual a la unidad, y como consecuencia la probabilidad de que la v.a. continua X tome valores en el intervalo [a,b] será igual al área bajo la curva f(x) acotada entre a y b, es decir:
Si la v.a. X es discreta, existen las probabilidades puntuales P(X=xi). En el caso continuo, si xi es un puntointerior al intervalo de definición de la v.a. continua X, entonces
 
La función de distribución de una v.a. continua es una función que verifica:
Como la representa gráficamente el área encerrada bajo la curva f(x) y los valores a y b del eje de abscisas, entonces a la probabilidad se le puede dar la misma interpretación.

• Función densidad de probabilidad
La función densidad debe cumplir:• f(x) "0
• • P(a" x"b)=
[pic]Una función  y=f(x)  es una función de densidad de una variable aleatoria continua si cumple las siguientes condiciones:
[pic]
 

Función de distribución acumulada
Propiedades:
• • 0" F(xi)"1
• P(a" x"b)= F(b) - F(a)
La función de distribución acumulada, F(x), para una variable aleatoria continua X, está definida para todo número x mediante:[pic]

Para cada x, F(x) es el área bajo la curva de densidad a la izquierda de x. F(x) se incrementará de manera uniforme cuando aumenta x.

La función de distribución acumulada es muy útil para calcular probabilidades: Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad f(x) y función de distribución acumulada F(x). Entonces, para cualquier número a, la probabilidades:

P(X > a) = 1 - F(a)

Y para dos números cualesquiera a y b, con a 0 cuya función de densidad es
[pic]
Su función de distribución es
[pic]

Aquí e significa el número e.

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución exponencial son

[pic]
[pic]

Distribución uniforme

Es una distribución de probabilidad cuyos valores...