Diagonalizacion De Matrices, Potencias Y Raices De Matrices
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Publicado: 31 de agosto de 2011
DIAGONALIZACION DE MATRICES, POTENCIAS Y RAICES DE MATRICES
En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz D = (di,j) es diagonal si Para estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla de forma lo más sencilla posible. Diagonalizar una matriz A es precisamenteeso: escribirla de manera simple encontrando una matriz invertible P y una diagonal D (si se puede).Diagonalizar una matriz es muy importante en el Álgebra Lineal, pues se cumple lo siguiente:
Facilitando mucho el calculo de las potencias de A, dado que sieno D una matriz diagonal el calculo de su p-esima potencia es muy sencillo:
La matriz P se llama matriz de paso
Puede queesto, al principio, no parezca más simple de lo que ya era A directamente. Sin embargo, lo es desde muchos puntos de vista. Dado que las matrices suelen usarse para representar aplicaciones lineales, la expresión anterior puede verse como un cambio de base de la aplicación representada por A; entonces, esta forma de escribirlo dice: hay una base en la que la aplicación lineal A tiene una forma muysimple (diagonal). Esto es útil, por ejemplo, para clasificar una aplicación lineal y estudiar sus propiedades. Las matrices se usan para representar otras cosas como cónicas, cuádricas o formas bilineales, y en estos casos también resulta útil esta forma de expresarlas.
La relación anterior entre las matrices A y D es importante y aparece en muchos contextos, así que tiene nombre propio:Cuando dos matrices cuadradas A y B verifican que A = P B P-1 para cierta matriz cuadrada P (invertible, claro) decimos que A y B son semejantes.
Una matriz es diagonalizable cuando se puede diagonalizar; es decir, cuando podemos encontrar una matriz diagonal y una invertible de forma que la matriz se escriba como dijimos antes. Dicho de otra forma: una matriz es diagonalizable cuando es semejante auna matriz diagonal.Entonces, más exactamente: una matriz es diagonalizable cuando es semejante a una matriz diagonal real.
¿Cuándo y cómo podemos diagonalizar una matriz?
Si conseguimos escribir una matriz A como A = P D P-1 , entonces podemos poner también A P = P D. Si D es diagonal y nos fijamos en la columna i de esta última igualdad lo que tenemos es que A xi = λi xi (donde xi es lacolumna i de A y λi es el número en el lugar i de la diagonal de D). Esto nos dice que para diagonalizar una matriz nos hace falta conocer los vectores a los que les pase algo así. Estos vectores también tienen nombre:
Si un número λ y un vector no nulo x verifican la relación A x = λ x diremos queλ es un valor propio o autovalor de la matriz A y que x es un vector propio o autovector de Aasociado al valor propio λ.
Es fácil ver que diagonalizar una matriz A de tamaño n×n es lo mismo que encontrar n vectores propios linealmente independientes asociados a valores propios reales, ya que entonces podemos ponerlos por columnas y conseguir así la matriz P (puedes comprobar que entonces se cumple la relación que buscamos). Entonces, para diagonalizar una matriz lo que tenemos que hacer esbuscar n vectores propios suyos linealmente independientes asociados a valores propios reales.
¿Cómo encontrar valores y vectores propios de una matriz?
Es fundamental, pues, hallar los valores propios de A y los vectores propios asociados. Como un vector propio l hace que el sistema Ax = λx tenga solución x distinta de cero, la matriz de coeficientes A −λI (donde I denota la matrizidentidad de orden n) debe tener determinante no nulo. Este determinante det(A−λI) es un polinomio en λ de grado n y se denomina polinomio característico de A. Por lo tanto, los valores propios de A serán los ceros del polinomio característico de A.
Observa que una matriz puede perfectamente tener valores propios imaginarios.
Por otro lado, el conjunto de vectores propios de A asociados a un mismo...
En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz D = (di,j) es diagonal si Para estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla de forma lo más sencilla posible. Diagonalizar una matriz A es precisamenteeso: escribirla de manera simple encontrando una matriz invertible P y una diagonal D (si se puede).Diagonalizar una matriz es muy importante en el Álgebra Lineal, pues se cumple lo siguiente:
Facilitando mucho el calculo de las potencias de A, dado que sieno D una matriz diagonal el calculo de su p-esima potencia es muy sencillo:
La matriz P se llama matriz de paso
Puede queesto, al principio, no parezca más simple de lo que ya era A directamente. Sin embargo, lo es desde muchos puntos de vista. Dado que las matrices suelen usarse para representar aplicaciones lineales, la expresión anterior puede verse como un cambio de base de la aplicación representada por A; entonces, esta forma de escribirlo dice: hay una base en la que la aplicación lineal A tiene una forma muysimple (diagonal). Esto es útil, por ejemplo, para clasificar una aplicación lineal y estudiar sus propiedades. Las matrices se usan para representar otras cosas como cónicas, cuádricas o formas bilineales, y en estos casos también resulta útil esta forma de expresarlas.
La relación anterior entre las matrices A y D es importante y aparece en muchos contextos, así que tiene nombre propio:Cuando dos matrices cuadradas A y B verifican que A = P B P-1 para cierta matriz cuadrada P (invertible, claro) decimos que A y B son semejantes.
Una matriz es diagonalizable cuando se puede diagonalizar; es decir, cuando podemos encontrar una matriz diagonal y una invertible de forma que la matriz se escriba como dijimos antes. Dicho de otra forma: una matriz es diagonalizable cuando es semejante auna matriz diagonal.Entonces, más exactamente: una matriz es diagonalizable cuando es semejante a una matriz diagonal real.
¿Cuándo y cómo podemos diagonalizar una matriz?
Si conseguimos escribir una matriz A como A = P D P-1 , entonces podemos poner también A P = P D. Si D es diagonal y nos fijamos en la columna i de esta última igualdad lo que tenemos es que A xi = λi xi (donde xi es lacolumna i de A y λi es el número en el lugar i de la diagonal de D). Esto nos dice que para diagonalizar una matriz nos hace falta conocer los vectores a los que les pase algo así. Estos vectores también tienen nombre:
Si un número λ y un vector no nulo x verifican la relación A x = λ x diremos queλ es un valor propio o autovalor de la matriz A y que x es un vector propio o autovector de Aasociado al valor propio λ.
Es fácil ver que diagonalizar una matriz A de tamaño n×n es lo mismo que encontrar n vectores propios linealmente independientes asociados a valores propios reales, ya que entonces podemos ponerlos por columnas y conseguir así la matriz P (puedes comprobar que entonces se cumple la relación que buscamos). Entonces, para diagonalizar una matriz lo que tenemos que hacer esbuscar n vectores propios suyos linealmente independientes asociados a valores propios reales.
¿Cómo encontrar valores y vectores propios de una matriz?
Es fundamental, pues, hallar los valores propios de A y los vectores propios asociados. Como un vector propio l hace que el sistema Ax = λx tenga solución x distinta de cero, la matriz de coeficientes A −λI (donde I denota la matrizidentidad de orden n) debe tener determinante no nulo. Este determinante det(A−λI) es un polinomio en λ de grado n y se denomina polinomio característico de A. Por lo tanto, los valores propios de A serán los ceros del polinomio característico de A.
Observa que una matriz puede perfectamente tener valores propios imaginarios.
Por otro lado, el conjunto de vectores propios de A asociados a un mismo...
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