Diagonalizacion de matrices

Diagonalizaci´n de una Matriz
o
Departamento de Matem´ticas, CCIR/ITESM
a
11 de mayo de 2009

´
Indice
25.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . .
o
25.2. Matriz diagonalizable . . . . . . . . .
25.3. Condiciones para la diagonalizaci´n .
o
25.4. Uso de la Factorizaci´n PDP−1 . . .
o
25.5. Aplicaci´n: Cadenas de Markov . . .
o

25.1.

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6

Introducci´n
o

´
En esta lectura veremos uno de los temas m´s importantes del Algebra Lineal que tiene aplicaciones
a
fundamentales en Ingenier´ Este es el tema de la diagonalizaci´n de una matriz cuadrada. Se revisar´ la
ıa. ´
o
a
definici´n, algunosresultados te´ricos y algunas aplicaciones. Se requieren los conceptos de valor y vector
o
o
propio, polinomio caracter´
ıstico y bases de un espacio lineal.

25.2.

Matriz diagonalizable

Definici´n 25.1
o
Una matriz cuadrada A n × n se dice matriz diagonalizable si existe existe una matriz P n × n invertible que
cumple
P−1 AP = D
donde D es una matriz diagonal.
El siguienteresultado indica qu´ significa que una matriz A sea diagonalizable.
e
Teorema
Sea A una matriz cuadrada n × n, entonces son equivalentes:
A es una matriz es diagonalizable,
Rn posee una base formada por vectores propios de la matriz A.
Demostraci´n
o
Supongamos que A es diagonalizable. Por tanto, existen matrices P invertible y D diagonal tal que
P−1 AP = D o A = PDP−1
´
Si pi es la i-esimacolumna de P y dj el j-´simo elemento de la diagonal de D, veamos que
e
B = {p1 , p2 . . . , pn }

es base para Rn y que A pi = di pi . Como
P−1 P = In×n = [e1 e2 · · · en ] = P−1 [p1 p2 · · · pn ] = P−1 p1 P−1 p2 · · · P−1 pn
Por tanto, P−1 pi = ei . As´ mismo, Dei = di ei y Pei = pi As´
ı
ı
Api =
=
=
=
=
=
=

PDP−1 pi
(PD) P−1 pi
(PD) ei
P (Dei )
P (di ei )
di Pei
di piPor tanto, pi es un vector propio asociado al valor propio di de A. Siendo P es invertible, P se reduce a In×n .
Por tanto, B es linealmente independiente y genera a Rn . Por tanto, B es una base para Rn formada por
vectores propios.
Supongamos ahora que se tiene una base para Rn
B = {p1 , p2 . . . , pn }
formada por vectores propios de A y que Api = di pi . Definamos
P = [p1 · · · pn ] y D= diag (d1 , d2 , . . . , dn )
As´ P es invertible y
ı,
P−1 AP =
=
=
=
=
=
=

P−1 (A [p1 p2 · · · pn ])
P−1 [Ap1 Ap2 · · · Apn ]
P−1 [d1 p1 d2 d2 · · · dn dn ]
P−1 d1 p1 P−1 d2 p2 · · · P−1 dn pn
d1 P−1 p1 d2 P−1 p2 · · · dn P−1 pn
[d1 e1 d2 e2 · · · dn nn ]
D

por tanto, A es diagonalizable.

25.3.

Condiciones para la diagonalizaci´n
o

Reglas b´sicas para saber si unamatriz es diagonalizable:
a
Si tiene alg´n valor propio complejo, no es diagonalizable. Efectivamente, si A es diagonalizable
u
pA (t) =
=
=
=
=
=
=
=

det (A − tI)
det PDP−1 − tI
det PDP−1 − tIPP−1
det PDP−1 − P (tI) P−1
det P (D − tI) P−1
det(P) det(D − tI) det P−1
det (D − tI)
n
i=1 (di − t)

por tanto, pA (t) tiene todos sus valores propios reales. La contrapositiva deesta afirmaci´n es que si el
o
polinomio caracter´
ıstico de A al menos una ra´ compleja, entonces A no puede ser diagonalizable.
ız
2

Si tiene todos sus valores propios reales y son diferentes, s´ es diagonalizable. Supongamos que sea el
ı
caso. Como pA (t) tiene grado n entonces tendr´ n ra´
a
ıces reales y diferentes. Por tanto, si
B = {x1 , x2 , . . . , xn }
es un conjunto...