diagonalizacion

Cap´
ıtulo 6

Diagonalizaci´n
o
6.1
6.1.1

Valores y vectores propios
Planteamiento del problema

Problema general de diagonalizaci´n Dado un operador lineal f sobre un espacio vectorial V ,
o
nos planteamos el problema de cu´ndo es posible encontrar una base de V respecto de la cu´l la
a
a
matriz de f sea diagonal. Si A es la matriz del operador f con respecto a una determinadabase
B , el planteamiento anterior es equivalente a preguntarse cu´ndo existe un cambio de base tal que
a
la matriz del operador en la nueva base B∗ sea diagonal. Esa nueva matriz viene dada por P −1 AP ,
donde P es la matriz de paso de la nueva base B∗ a la base B (Teorema de Semejanza).

.c
om

Problema de la diagonalizaci´n ortogonal Dado un operador lineal f sobre un espacio vectoorial V con producto interior, nos planteamos el problema de cu´ndo es posible encontrar una base
a
ortonormal de V respecto de la cu´l la matriz de f sea diagonal. Si V es un espacio con producto
a
interior y las bases son ortonormales entonces se tendr´ que P ser´ ortogonal.
a
a

a1

Podemos pues formular los dos problemas anteriores en t´rminos de matrices.
e

ic

1.- Dada unamatriz cuadrada A, ¿existe una matriz P inversible tal que P −1 AP sea diagonal?

at

2.- Dada una matriz cuadrada A, ¿existe una matriz ortogonal P tal que P t AP sea diagonal?

Valores y vectores propios

ww
w.

6.1.2

M

at

em

Definici´n 142.- Se dice que una matriz A cuadrada es diagonalizable si existe una matriz P
o
inversible tal que P −1 AP es diagonal. En ese caso se diceque P diagonaliza a la matriz A.
Si existe una matriz ortogonal P tal que P −1 AP es diagonal, entonces se dice que A es diagonalizable ortogonalmente y que P diagonaliza ortogonalmente a A.

Supongamos que la matriz An×n es diagonalizable y sea D la matriz diagonal. Entonces:
∃ P inversible tal que P −1 AP = D o, equivalentemente, ∃ P inversible tal que AP = P D
Si denotamos por p1 , p2 , .. . , pn a las columnas de P , las matrices son



p11 p12
 p21 p22

PD =  .
.
.
 .
.
.
pn1 pn2


· · · p1n
λ1 0 · · · 0
· · · p2n  0 λ2 · · · 0

.  . . .
.
..
. .  . . . . .
.
. .
.
· · · pnn
0 0 · · · λn

AP = A p1 p2 · · · pn =
 

λ1 p11 λ2 p12 · · · λn p1n
  λ1 p21 λ2 p22 · · · λn p2n 
 

= .
.
. =
..
.
. 
  .
.
.
..

Ap1

Ap2

···

Apn

λ1 p1 λ2 p2 · · · λn pn

λ1 pn1 λ2 pn2 · · · λn pnn

y, como son iguales: Api = λi pi , para todo i = 1, . . . , n. Es decir, han de existir n vectores
linealmente independientes pi (P es inversible) y n n´meros λi que lo verifiquen.
u
Definici´n 143.- Si A es una matriz de orden n, diremos que λ es un valor propio, valor caraco
ter´
ıstico, eigenvalor oautovalor de A si existe alg´n p ∈ IRn , p = 0 , tal que Ap = λp .
u
Del vector p diremos que es un vector propio, vector caracter´
ıstico, eigenvector o autovector de A correspondiente al valor propio λ.
Prof: Jos´ Antonio Abia Vian
e

I.T.I. en Electricidad

a
55 – Matem´ticas I

6.2 Diagonalizaci´n
o

Del comentario anterior, obtenemos la primera caracterizaci´n para ladiagonalizaci´n de la matriz:
o
o
Teorema 144.- Sea A una matriz de orden n, entonces:
A es diagonalizable ⇐⇒
A tiene n vectores propios linealmente independientes
Demostraci´n:
o
Por lo anterior, se tiene que:

A es una matriz diagonalizable

⇐⇒

⇐⇒ ∃ P inversible y D diagonal tal que AP = P D
⇐⇒ ∃ P inversible y D diagonal tal que
AP =

Ap1

Ap2

···

Apn

=

λ1 p1 λ2 p2 · · ·λn pn

= PD

⇐⇒ existen n vectores linealmente independientes tales que Ap1 = λ1 p1 , . . . , Apn = λn pn
⇐⇒ A tiene n vectores propios linealmente independientes

Diagonalizaci´n
o

a1

6.2

.c
om

En consecuencia, el problema de la diagonalizaci´n se reduce a la busqueda de los vectores propios
o
de la matriz, y comprobar si de entre ellos pueden tomarse n linealmente...