Diagonalizacion

Tema

3
´ Diagonalizacion de matrices
3.1 Matrices semejantes. El problema de la diagonalizaci´n o

Definici´n 3.1 Diremos que dos matrices A y B de orden n son semejantes o cuando existe una matriz P de orden n invertible, es decir, |P | = 0, tal que B = P −1 A P.

Ejemplo 3.1 Sean A =

1 2 0 1

yB=

son matrices semejantes ya que existe P =  1  2 AP =  1 2 1  2    1 2

0−1 1 −1 1 1 −1 1

1 2 1 1

. Se verifica que A y B tal que

P −1

−

1 0

2 1

=

0 1 −1 2

= B.

Proposici´n 3.1 Si A, B ∈ Mn (R) son matrices semejantes (B = P −1 A P ), o entonces se verifica: 1. |A| = |B|, 2. B k = P −1 Ak P para todo k ∈ N, es decir, Ak y B k son, tambi´n, matrices e semejantes.

29

30

Diagonalizaci´n de matrices o

3.2

Autovalores y autovectoresde una matriz cuadrada

Definici´n 3.2 Sea A una matriz cuadrada de orden n. Diremos que un n´mero o u   x1  x2    λ es un autovalor o valor propio de A si existe X =  .  ∈ Mn×1 ,  .  . xn   0  0    X =  . , tal que A X = λ X.  .  . 0 Definici´n 3.3 Sea A  matriz cuadrada de orden n. Diremos que X = una   o x1 0  x2   0       .  ∈ Mn×1 , X =  . , es autovectoro vector propio de A asociado  .   .  . . xn 0 al autovalor λ si se verifica que A X = λ X. Ejemplo 3.2 Sea la matriz A A= se verifica que 1 0 1 2 1 1 =2 1 1 , 1 1 1 1 0 2

por tanto podemos asegurar que 2 es un autovalor de la matriz A y que es un autovector asociado al autovalor 2.

3.3
3.3.1

C´lculo de autovalores y autovectores a
C´lculo de autovalores: polinomio caracter´ a ısticoProposici´n 3.2 Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se verifica que: o λ es un autovalor de A si y s´lo si det(A − λ I) = 0, o donde I representa la matriz unidad de orden n.

3.3 C´lculo de autovalores y autovectores a

31

Definici´n 3.4 A la expresi´n pA (λ) = det(A − λ I) se le llama polinomio o o caracter´ ıstico de la matriz A. A la ecuaci´n pA (λ) = det(A − λ I) = 0 se le odenomina ecuaci´n caracter´ o ıstica de la matriz A. Por tanto, podemos decir que los autovalores de una matriz A son las ra´ ıces de su polinomio caracter´ ıstico o las soluciones de su ecuaci´n caracter´ o ıstica. 1 2 Ejemplo 3.3 Hallar los autovalores de la matriz A =  −1 3 0 1 Para hallar sus autovalores tendremos que resolver su ecuaci´n o En este caso: 1−λ 2 0 −1 3−λ 1 0 1 1−λ   0 1 . 1caracter´ ıstica.

= (1 − λ)2 (3 − λ)+ (1 − λ) = (1 − λ)[(1 − λ)(3 − λ)+ 1] = = (1 − λ)(λ − 2)2 = 0.

Por tanto, los autovalores de A ser´n: λ1 = 1 y λ2 = 2. a Si λ es una ra´ m´ ltiple del polinomio caracter´ ız u ıstico con orden de multiplicidad k, se dice que λ es autovalor m´ ltiple de A y que su multiplicidad algebraica es u k. Cuando k = 1, diremos que el autovalor λ es simple. Ejemplo 3.4 Enel ejemplo anterior tenemos que λ1 = 1 es un autovalor simple y que el autovalor λ2 = 2 es un autovalor de multiplicidad algebraica 2.

3.3.2

C´lculo de autovectores a

Sea A  matriz cuadrada de orden n y sea λ un autovalor de A. Si X = una  x1  x2     .  ∈ Mn×1 es un autovector de A asociado al autovalor λ, entonces X es  .  . xn soluci´n no trivial del sistema homog´neo o e    0 x1  x2   0      (A − λ I)  .  =  .  .  .   .  . . xn 0

De aqu´ se deduce que para calcular los autovectores asociados a λ lo que hay que ı hacer es resolver el sistema homog´neo asociado (A − λ I)X = Θ, que, por ser λ e

32

Diagonalizaci´n de matrices o

autovalor de A (det(A − λ I) = 0), siempre va a ser compatible indeterminado con soluciones distintas a latrivial. Cada una de las soluciones no triviales es un autovector asociado a λ.   1 2 0 Ejemplo 3.5 Hallar los autovectores de la matriz A =  −1 3 1 . 0 1 1 Para dicha matriz vimos que sus autovalores eran λ1 = 1 y λ2 = 2 (doble). Tenemos que calcular los autovectores asociados a ambos autovalores: λ1 = 1:     x1 0 1−1 2 0 1   x2  =  0  (A − I) X = Θ ⇐⇒  −1 3 − 1 0 1 1−1 x3 0 ⇐⇒ ...