Diagr ma de arbol

open green
road

Guía Matemática
´
DIAGRAMA DE ARBOL
tutora: Jacky Moreno

.cl

open green
road

1.

Diagrama de ´
arbol

El diagrama de ´
arbol es una herramienta gr´afica que nos permite representar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio que consta de un determinado n´
umero de pasos que se pueden llevar
a cabo de una manera finita, por lo tanto, este diagrama es unarepresentaci´on que nos permite realizar
recuentos.

✎ Ejemplo
Calcular la probabilidad de obtener al menos un sello al lanzar 3 veces una moneda com´
un.
Soluci´
on: El diagrama de ´
arbol para este ejercicio es:

Como podemos ver, la construcci´
on de este diagrama consiste en poner una rama para cada posibilidad
del primer lanzamiento (cara o sello), luego, al final de cada resultado, se contin´
uacon la ramificaci´
on de
los resultados posibles al lanzar la moneda por segunda vez, finalmente, a partir de los u
´ltimos resultados,
se termina la ramificaci´
on con los sucesos que se pueden obtener al lanzar la moneda una tercera y u
´ltima
vez.
Al observar el diagrama de ´
arbol podemos decir que hay 8 resultados posibles, de los cuales 7 tienen
al menos un sello, por lo tanto, la probabilidadqueda definida por la siguiente expresi´on:
P (obtener al menos un sello) =

7
8

Los diagramas de ´
arbol nos permiten calcular de manera m´as r´apida algunas probabilidades ya sea
utilizando la multiplicaci´
on de probabilidades en el caso de que se est´e trabajando con ramas adyacentes,
y/o utilizando la suma de las probabilidades en el caso de que se est´e trabajando con ramas separadas.

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✎ Ejemplo
En un avi´on viajan 22 personas que hablan ingl´es y 8 personas que hablan espa˜
nol. Si se escogen tres
personas al azar:
1. ¿Cu´al es la probabilidad de elegir tres personas que hablen espa˜
nol?
2. ¿Cu´al es la probabilidad de escoger dos personas que hablen ingl´es y una persona que hable espa˜
nol?
Soluci´
on: Representemos la informaci´on entregada mediante undiagrama de ´arbol:

Este diagrama presenta las tres fases de elecci´on con sus respectivas probabilidades. Como cada vez
que elijo a una persona no la puedo volver a elegir, el denominador de mis probabilidades va disminuyendo
en una unidad a medida que voy eligiendo a m´as personas. Adem´as, cabe notar, que el numerador de mis
probabilidades tambi´en va variando de acuerdo al idioma que habla lapersona que elijo. Por ejemplo, si
selecciono a una persona que habla ingl´es, en mi segunda oportunidad de elegir una persona que habla el
mismo idioma ya no voy a poder considerar al mismo, por lo tanto, en vez de poder elegir entre las 22
personas que hablan ingl´es voy a poder elegir entre las 21 personas que quedan.
En la parte uno de este ejercicio nos preguntan por la probabilidad de elegir atres personas que hablan
espa˜
nol, al observar el diagrama nos damos cuenta que existe s´olo una rama que nos da esta combinaci´
on,
por lo tanto, como se est´
a trabajando con ramas adyacentes debemos multiplicar las probabilidades para
obtener la probabilidad que nos estan pidiendo. De esta manera tenemos lo siguiente:

3

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8 7 6
·
·
30 29 28
8·7·6
P (elegir 3 personas quehablen espa˜
nol) =
30 · 29 · 28
2
P (elegir 3 personas que hablen espa˜
nol) =
145
P (elegir 3 personas que hablen espa˜
nol) ≈ 0, 014
P (elegir 3 personas que hablen espa˜
nol) =

Finalmente la probabilidad de escoger 3 pasajeros que hablen espa˜
nol es 1, 4 % aproximadamente.
En la parte dos de este ejercicio nos preguntan por la probabilidad de elegir dos personas que hablen
ingl´es y una personaque hable espa˜
nol. Para esta probabilidad tenemos 3 casos posibles para escoger:
I −I −E , I −E−I ´
o E − I − I, por lo tanto, calculamos la probabilidad de cada combinaci´on posible
y luego las sumamos porque corresponden a ramas separadas.
P (I-I-E) =

22 21 8
·
·
30 29 28

P (I-E-I) =

22 8 21
·
·
30 29 28

P (E-I-I) =

8 22 21
·
·
30 29 28

P (2 ingl´es y 1 espa˜
nol) =

22 8 21
8 22 21
22...