Diagrama De Karnaugh

CURSO

Curso Completo de Electrónica Digital

Departamento de Electronica y Comunicaciones Universidad Pontifica de Salamanca en Madrid Prof. Juan González Gómez

Capítulo 3

ALGEBRA DE BOOLE
Continuación ...

3.7. Simplificación de funciones booleanas
3.7.1. Introducción
En las matemáticas con números Reales, estamos muy acostumbrados a simplificar. De hecho es lo que nos hanenseñado desde pequeños. Si una determinada expresión la podemos simplificar, ¿por qué no hacerlo?, así seguro que nos ahorramos cálculos. Por ejemplo, si vemos la siguiente ecuación:

lo primero que hacemos es simplificarla, aplicando primero que

quedando:

que todavía puede ser simplificada más, dividiendo por 2:

Una vez simplificada es mucho más fácil trabajar. Cuando estamos diseñandocircuitos digitales, utilizaremos funciones booleanas para describirlos. Y antes de implementarlos, es decir, antes de convertir las ecuaciones a componentes electrónicos (puertas lógicas) tenemos que simplificar al máximo. Una de las misiones de los Ingenieros es diseñar, y otra muy importante es optimizar. No basta con realizar un circuito, sino que hay que hacerlo con el menor número posible decomponentes electrónicos. Y esto es lo que conseguimos si trabajamos con funciones simplificadas. Las funciones booleanas se tienen que simplificar al máximo, para diseñar los circuitos con el menor número de componentes electrónicos. Y este será uno de los grandes caballos de batalla de esta asignatura: la simplificación de las funciones. Esta simplificación la podemos realizar de dos manerasdiferentes: 1. Utilizando las propiedades y Teoremas del Algebra de Boole. Se denomina método analítico de simplificación de funciones. Hay que manejar muy bien estas propiedades para poder eliminar la mayor cantidad de términos y variables. 2. Utilizando el método de Karnaugh. Es un método gráfico que si lo aplicamos bien, nos garantiza que obtendremos la función más simplificada posible, a partir deuna tabla de verdad. Normalmente las formas canónicas no son las expresiones más simplificadas.

3.7.2. Método analítico de simplificación de funciones
Desgraciadamente no exite tal método!!... Hay que basarse en la experiencia y en el conocimiento de las propiedades y teoremas del Algebra de Boole. Lo mejor es ver un ejemplo:

Ejemplo:
Simplificar la siguiente función:

Vamos a intentaraplicar la propiedad distributiva, lo que normalmente llamamos sacar factor común. Operando con los términos 1 y 3:

Operando con los términos 2 y 4:

La función que nos queda es:

Tanto la función inicial, como la que hemos obtenido son funciones equivalentes. Tienen la misma tabla de verdad, sin embargo, la segunda está mucho más simplificada: sólo tiene dos sumandos y cada sumando tienesólo dos variables.

Ejemplo:
Simplificar la siguiente función:

Si nos fijamos, vemos que podemos reordenar la función de manera que quede:

y puesto que

y cualquier cosa multiplicada por 0 es 0, al final nos queda:

3.7.3. Método de Karnaugh
En este apartado veremos un método para obtener la función más simplificada a partir de una tabla de verdad. Vamos a ir poco a poco, viendo losfundamentos de este método. Supongamos que tenemos una función F(A,B,C) de tres variables, cuya tabla de verdad es:

Si la desarrollamos por la primera forma canónica obtenemos:

Veremos como aplicando el método de Karnaugh podemos simplificar esta función.Vamos a organizar esta misma tabla de la siguiente manera:

Observamos lo siguiente: En total hay 8 casillas, cada una correspondiente auna fila de la tabla de verdad. En cada casilla está colocado el valor de la función F, correspondiente a esa entrada. En latabla de verdad hay dos filas en las que F=0 y 6 filas en las que F=1. En el nuevo diagrama hay dos casillas con ’0’ y 6 con ’1’. Hay dos filas, en al primera fila están todos los valores de F correspondientes a A=0, y en la segunda correspondientes a A=1. Hay 4 columnas,...