Diagramas De Nyquist

La función de transferencia de lazo abierto de un sistema de control se da a continuación. Considere determinar las siguientes características: estabilidad en lazo cerrado Φ11 y Z.
1.
Ls=20s(1+0.1s)(1+0.5s) Pω =1 P=0
Ljω=20jω(1+0.1jω)(1+0.5jω)

Ljω=-4800ω4+104ω2+400+400(ω2-20)ω(ω4+104ω2+400)j

Ljω=400ωω4+104ω2+400
∠Ljω=tan-1-ω2-2012ω
Punto queintersecta con el eje real.
400(ω2-20)ω(ω4+104ω2+400)=0 ω=±4.47 rad/s
Ljωω=±4.47 ⟹ 20jω1+0.1jω1+0.5jωω=±4.47
Ljωω=±4.47=-1.66
limω→0Ljω=limω→0=400ωω4+104ω2+400=∞
limω→0∠Ljω=-P*90°=-1*90°=-90°
limω→∞Ljω=limω→0=400ωω4+104ω2+400=0
limω→∞∠Ljω=-P+1*90°=-1+1*90°=-180°
1+Ls=1+20s1+0.1s1+0.5s=s3+12s2+20s+400ss+2s+10=0
s3+12s2+20s+400=0
s1=-12.86s2=0.431+5.55js3=0.431-5.55jSe observa que en 1+L(s) existen dos ceros en el semiplano derechos del plano s por lo que:
Z=2 R//
ϕ11=(Z-P-0.5Pω )180°
ϕ11=(2-0-0.5*1)180°
ϕ11=270° R//
El sistema es inestable.
Código en Matlab.
num=[20];
den=[0.05 0.6 1 0];
w=0.1:0.1:100;
[re,im,w]=nyquist(num,den,w);
plot(re,im);
v=[-2 2 -5 5];axis(v)
grid
xlabel('Eje Real')
ylabel('Eje Imagianrio')
hold onTraza de NYQUIST
2.
Ls=100(1+s)s(1+0.1s)(1+0.2s)(1+0.5s) Pω =1 P=0
Ljω=100(1+jω)jω(1+0.1jω)(1+0.2jω)(1+0.5jω)
Ljω=-4000(4ω2-5)ω6+129ω4+30000ω2+10000+10000(ω4-63ω2-100)ω(ω6+129ω4+30000ω2+10000)j

Ljω=10000ω2+1ωω6+129ω4+30000ω2+10000
∠Ljω=tan-1-ω4-63ω2-1004ω(4ω2-5)
Punto que intersecta con el eje real.
10000(ω4-63ω2-100)ω(ω6+129ω4+30000ω2+10000)=0ω=±8.03 rad/s
Ljωω=±8.03 ⟹ 100(1+jω)jω(1+0.1jω)(1+0.2jω)(1+0.5jω)ω=±8.03
Ljωω=±4.47=-10.026
limω→0Ljω=limω→0=10000ω2+1ωω6+129ω4+30000ω2+10000=∞
limω→0∠Ljω=-P*90°=-1*90°=-90°
limω→∞Ljω=limω→0=10000ω2+1ωω6+129ω4+30000ω2+10000=0
limω→∞∠Ljω=-P+1*90°=-1+1*90°=-180°
1+Ls=1+100(1+s)s(1+0.1s)(1+0.2s)(1+0.5s)=s4+17s3+80s2+10100s+10000ss+2s+5s+10=0s4+17s3+80s2+10100s+10000=0
s1=-27.20s2=5.601+18.37js3=5.601-18.37js4=-0.99
Se observa que en 1+L(s) existen dos ceros en el semiplano derechos del plano s por lo que:
Z=2 R//
ϕ11=(Z-P-0.5Pω )180°
ϕ11=(2-0-0.5*1)180°
ϕ11=270° R//

El sistema es inestable.

Código en Matlab.
num=[100 100];
den=[0.01 0.17 0.8 1 0];
w=0.1:0.1:100;
[re,im,w]=nyquist(num,den,w);
plot(re,im);
v=[-2 2 -5 5];axis(v)grid
xlabel('Eje Real')
ylabel('Eje Imagianrio')
hold on

Traza de NYQUIST
3.
Ls=3(s+2)s(s3+3s+1)
ss3+3s+1=0
s1=0s2=0.16+1.75js3=0.16-1.75js4=-0.322
Existen dos polos en el semiplano derecho del plano s por lo tanto:
Pω =1 P=2
Ljω=3(jω+2)s((jω)3+3jω+1)
Ljω=3(2ω2-5)ω6-6ω4+9ω2+1+3(ω4-3ω2-2)ω(ω6-6ω4+9ω2+1)j
Ljω=3(ω2+4)ω6-6ω4+9ω2+1 ω
∠Ljω=tan-1ω4-3ω2-2ω(2ω2-5)
Puntoque intersecta con el eje real.
3(ω4-3ω2-2)ω(ω6-6ω4+9ω2+1)=0 ω=±1.88 rad/s
Ljωω=±1.88 ⟹ 3(jω+2)s((jω)3+3jω+1)ω=±1.88
Ljωω=±4.47=3
limω→0Ljω=limω→0=3(ω2+4)ω6-6ω4+9ω2+1 ω=∞
limω→0∠Ljω=-P*90°=-1*90°=-90°
limω→∞Ljω=limω→0=3ω2+4ω6-6ω4+9ω2+1 ω=0
limω→∞∠Ljω=-P+1*90°=-1+1*90°=-180°
1+Ls=1+3(s+2)s(s3+3s+1)=s4+3s2+4s+6s(s3+3s+1)=0
s4+3s2+4s+6=0s1=0.79+1.84js2=0.79-1.84js3=-0.79+0.93js4=-0.79-0.93j
Se observa que en 1+L(s) existen dos ceros en el semiplano derechos del plano s por lo que:
Z=2 R//
ϕ11=(Z-P-0.5Pω )180°
ϕ11=(2-2-0.5*1)180°
ϕ11=-90° R//
El sistema es inestable.
Código en Matlab.
num=[3 6];
den=[1 0 3 1 0];
w=0.1:0.1:100;
[re,im,w]=nyquist(num,den,w);
plot(re,im);
v=[-2 2 -5 5];axis(v)
grid
xlabel('Eje Real')ylabel('Eje Imagianrio')
hold on

Traza de NYQUIST
4.
Ls=-0.1(s2-1)(s+2)s(s2+s+1)
ss2+s+1=0
s1=0s2=-0.5+0.86js3=-0.5-0.86j
Existen dos polos en el semiplano derecho del plano s por lo tanto:
Pω =1 P=0
Ljω=-0.1(jω2-1)((jω)+2)(jω)((jω)2+s+1)
Ljω=-ω2+1210(ω4-ω2+1)+(ω2-2)(ω2+1)10ω(ω4-ω2+1)j

Ljω=(ω2+1)ω2+4ω4-ω2+1 10ω
∠Ljω=tan-1-ω2-2ω(ω2+1)
Punto que intersecta con el eje real....