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Diagrama del Lugar de Raíces del controlador PID

Para comprender mejor el funcionamiento del controlador PID, resulta útil analizar como varían los ceros de la función de transferencia del controlador, en función de los coeficientes Ti y Td.

Las raíces del numerador están dadas por:

C1,C2  −
1

Ti
2 − 4TiTd
(1.9)


2Td


2TiTd









Si Td es tomado comoparámetro, los ceros resultan reales para


Ti ≥ 4Td




(1.10)



Y, si a su vez, Ti tiende a valores muy grandes, los ceros C1 y C2 tienden a:

C1
→ 0

C2
→ -1/Td
(1.11)

La figura 1.4 muestra el movimiento de los ceros en función de Ti, tomando a Td como parámetro.













Fig. 1.4: Diagrama del Lugar de Raíces de un controlador PID en función de Ti con Td comoparámetro.

En dicha figura se observa lo ya comentado, si se verifica la desigualdad 1.10, el diagrama cero polar del controlador PID se aproxima al de un compensador combinado por adelanto y atraso de fase (ideal).

1.2.b Ajuste de los parámetros de un Controlador PID

Para la selección de los tres parámetros del controlador PID (Kp, Ti y Td) puede procederse de muy diferentes formasdependiendo fundamentalmente del proceso a controlar y de la información disponible a priori. Básicamente se dispone de uno de los siguientes métodos y también de la combinación entre ellos:

1. Métodos iterativos de ajuste y error.
2. Métodos directos:

2.a. Por optimización

2.b. Margen de fase

2.c. Asignación de polos y ceros

1. Métodos Iterativos de Ajuste y error

Los métodositerativos de ajuste y error son, en general, de aplicación en aquellos casos en que el conocimiento a priori del sistema a controlar es pobre.

Consisten, básicamente en el ajuste iterativo de los parámetros del controlador a partir de la observación de la respuesta temporal del sistema realimentado, y del conocimiento (o experiencia) del operador en referencia a las tendencias de las variablescontroladas en función de los parámetros de ajuste.

Como se ha comentado, en párrafos anteriores, bajo ciertas condiciones el controlador PID tiene un comportamiento similar al de un compensador combinado por atraso y adelanto, siendo posible definir tendencias para la sintonía de los parámetros del controlador PID por el método de ajuste y error.

En la figura 1.4 puede observarse eldiagrama cero polar del PID para un determinado Td, en función de Ti. Observándose que si Ti es grande (y a su vez, Ti > 4Td) uno de los ceros del controlador se aproxima al polo en el origen conformando un par polo-cero en baja frecuencia cuyo efecto sobre el comportamiento en lazo cerrado del sistema puede ser interpretado como el efecto que produciría un compensador por atraso de fase.

Por otraparte, para Ti grande y a su vez suficientemente mayor que cuatro Td el otro cero tiende a –1/Td. Este cero puede ser ubicado, variando Td, de modo tal de aportar fase positiva en las proximidades de la frecuencia correspondiente al margen de fase, lo cual redunda en un incremento del grado de estabilidad del sistema a lazo cerrado. Este efecto puede interpretarse como el que produciría uncompensador por adelanto de fase en el cual el polo (del par cero-polo) se ha desplazado al infinito.

Por consiguiente, si Ti es grande y a su vez mayor que cuatro veces Td se dispone, variando Td, de un ajuste prácticamente independiente para la respuesta transitoria del sistema a lazo cerrado.

Por otra parte, la ganancia Kp tiene efecto tanto sobre la respuesta transitoria, ya que al variar Kp semodifica la frecuencia del margen de fase, como sobre el error de estado estacionario que es inversamente proporcional a la misma.

2. Métodos Iterativos de Ajuste y error

2 a) Métodos de optimización

En los últimos años los problemas de control óptimo han recibido gran atención debido a la creciente demanda de sistemas de alto grado de desempeño (performance).

El concepto de...