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El sistema de Leontief y su
solución matemática
(Nota didáctica)
Pedro Ramírez

Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias Económicas
Universidad de Antioquia

Introducción

El esquema

analítico de la economía de un país que Vasily W.
Leontiefpresentó en The Structure of the American Economy 19191939 en 1941, consiste en un sistema de ecuaciones lineales cuyos
elementos deben tenersignificado económico, esto es, no deben ser
negativos.
Ahora bien, se sabe que un sistema de n ecuaciones lineales con n
incógnitas tiene la forma:
allx1 + a12x2 +

alnxn = b,

a21x1 + a22x2 +

+ a2nxn

=b

2

Medellín, julio-diciembre

1992

128 Libros.

Revistas

la cual, si hacemos uso del producto de matrices, podemos escribir
así:
an a12•

••••••

aln

a21 a22•

••••••

a2n

an1 an2

•••••••

ann[~=[~]

donde los n2 coeficientes de las incógnitas, las n incógnitas y los n
términos independientes se han ordenad~ en fórma matricial. Si denotamos por A la matriz de coeficientes, por x el vector de incógnitas
y por b el vector de términos independientes, podemos abreviar la
.escritura del sistema para obtener:

Sabemos que si A es no singular, el sistema tiene solución única y
ésta es x =Alb.
Aquí nos proponemos presentar el problema planteado por Leontiefy exponer la solución que dio Hukukane Nikaido en su texto Introduction to sets and mappings in modern economics. North Holland,
1970. (Existe traducción al español bajo el título Métodos matemáticos del análisis económico moderno. Ed. Vicens Vivens).
l. Presentación del problema
A comienzos del tercer decenio de este siglo, V. W.Leontief(nacido
en 1905), fundamentándose en los trabajos que en el siglo XVIII había
iniciado el fundador de la escuela de los fisiócratas, el francés Francisco Quesnay, desarrolló y profundizó el análisis input-output o de
relaciones interindustriales como método para explicar los flujos de
Lecturas de Economía No. 37

Nota didáctica

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mercancías en una economía y las relaciones entre lasdemandas
finales y las diversas producciones requeridas para satisfacerlas. En
su forma más simple el modelo de Leontief tiene, entre otras, las
siguientes características:
1. Divide la economía en n sectores (que también denomina
industrias), cada uno de los cuales produce una única mercancía, esto
es, establece una correspondencia biunívoca entre las industrias y las
mercancías.
Designaremos conXila cantidad de mercancía producida por el iésimo sector durante un período de tiempo dado.
2. Distribuye el producto de cada sector en dos partes: una sirve
como insumo a la industria y la otra va a las exportaciones, al consumo doméstico, a la construcción de nuevas plantas para la producción y a todo uso que no esté incluido como insumo para los sectores
industriales. Estos usos los realizanlos llamados sectores exógenos y
los otros los endógenos.
Designaremos con Xijla cantidad de mercancía producida por la
industria i que sirve como insumo a la industriaj y con ci' la parte del
producto de la industria i que no se utiliza como insumo; ci se
denomina demanda final de la mercancía i.
3. Supone que el producto de cada sector queda agotado por las
compras de los sectores endógenos yexógenos en el período analizado.
Para cada sector se puede pues, escribir la siguiente ecuación:
i = 1,2, ...,n

esto es: el producto del sector i es igual a la demanda de los sectores
endógenos más la de los sectores exógenos (es decir, la demanda final).

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130 Libros. Revistas
4. La cantidad de producto de la industria i necesaria
producir una unidad de mercancíajpermanece constante. Esto
cantidad de la i-ésima mercancía que se utiliza como insumo
producir un unidad de la j-ésima es un parámetro del sistema
magnitud exógena).

para
es, la
para
(una

Si para producir xj unidades la industriaj requiere xijunidades del
producto de la industria i, entonces el cociente xyixj permanece
constante; este cociente lo denotamos por aij y representa las unidades
de...