Diapositivas 5

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ECUACIONES DIFERENCIALES MODERNAS
Ingeniería Industrial
Jesús P. Avalos Rodríguez
SEMANA 05
www.jesus-avalos.ucoz.com
Departamento de Ciencias
Perú
Abril 2015

Ms. Sc. Jesús ÁvalosRodríguez

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ECUACIONES DIFERENCIALES MODERNAS.

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Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.

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Ecuaciones de orden superior

Ms. Sc. Jesús Ávalos RodríguezPag.:

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ECUACIONES DIFERENCIALES MODERNAS.

Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.
Ecuaciones de orden superior

Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantesIntroducción
La ecuación lineal de primer orden dy/dx + ay = 0, en donde a es una constante,
tiene la solución exponencial y = c1 e−αx en −∞ < x < ∞. Por consiguiente, es
natural tratar de determinarsi existen soluciones exponenciales, en −∞ < x < ∞ de
ecuaciones de orden superior como
an y(n) + an−1 y(n−1) + . . . + a2 y + a1 y + a0 y = 0

(1)

en donde los son constantes. Lo sorprendente es quetodas las soluciones de (1) son
funciones exponenciales o se construyen a partir de punciones exponenciales. Se empezará considerando el caso particular del ecuación de segundo orden
ay + by + cy =0

Ms. Sc. Jesús Ávalos Rodríguez

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ECUACIONES DIFERENCIALES MODERNAS.

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Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.
Ecuaciones de orden superior

ecuación auxiliarSe ensaya una solución de la forma y = emx , entonces y = memx y y = m2 emx de
modo que la ecuación (2) se transforma en
am2 emx + bmemx + cemx = 0
o bien
emx [am2 + bm + c] = 0
Como nunca se anulapara valores reales de x, es evidente que la única manera de que
esta función exponencial para satisfacer diferencial es eligiendo m de modo que sea
una raíz de la ecuación cuadrática
am2 + bm + c = 0(3)

Esta última ecuación se llama ecuación auxiliar o ecuación característica de la ecuación diferencial (2). Se considerarán tres casos, según ecuación auxiliar tenga raíz
reales distintas, raíces...