Diapositivas

Cantor

Primera de Peirce

Segunda de Peirce

Farey

Conclusiones

´
DOS ENUMERACIONES DE LOS NUMEROS
RACIONALES POR CHARLES S. PEIRCE
Mariluz Trilleras Mota
Director: Dr. Anton Arnold Oostra van Noppen
Programa de Matem´
aticas con ´
enfasis en Estad´ıstica
Universidad del Tolima

Octubre, 2015

Bibliograf´
ıa

Cantor

Primera de Peirce

Segunda de Peirce

Farey

Conclusiones

Contenido
1Enumeraci´
on de los racionales por Cantor

2

Primera enumeraci´
on de los racionales por Charles S. Peirce
Nota hist´
orica
Descripci´
on del m´etodo
Estudio matem´
atico

3

Segunda enumeraci´
on de los racionales por Charles S. Peirce
Nota hist´
orica
Descripci´
on del m´etodo
Justificaci´
on matem´
atica

4

Las sucesiones De Farey
Descripci´
on
Nota hist´
orica

5

Conclusiones

6Bibliograf´ıa

Bibliograf´
ıa

Cantor

Primera de Peirce

Segunda de Peirce

Introducci´on

Nota Hist´
orica
Georg Cantor

1845-1918

Farey

Conclusiones

Bibliograf´
ıa

Cantor

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Segunda de Peirce

Farey

Conclusiones

Bibliograf´
ıa

Conjunto Infinito Enumerable
Un conjunto infinito es enumerable si existe una funci´
on biyectiva entre ese conjunto y
el conjunto N de los n´
umerosnaturales.

Ejemplo: f : Z

ÑN

✧

si n → 0,
♣ q ✏ 2n
✁2n   1 si n ↕ 0,

f n

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Farey

Conclusiones

Bibliograf´
ıa

No Enumerabilidad de R por Cantor
El intervalo real (0,1) no es enumerable:
x1
x2
x3
x4
Sea ahora x
d2
d22 , d3

✘

✏
✏
✏
✏

0, d11 d12 d13 d14 . . .
0, d21 d22 d23 d24 . . .
0, d31 d32 d33 d34 . . .
0, d41 d42 d43 d44 . . .

✏ 0, d1 d2 d3 . . .el n´umero real construido de tal manera que d1 ✘ d11 ,
✘ d33 , d4 ✘ d44 , etc.

Cantor

Primera de Peirce

Segunda de Peirce

Enumeraci´on de los Racionales por Cantor

Enumerabilidad de Q por Cantor

Farey

Conclusiones

Bibliograf´
ıa

Cantor

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Farey

Conclusiones

Bibliograf´
ıa

Una expresi´
on de esta funci´
on biyectiva es :

♣ mn q ✏ ♣m   n ✁ 1q♣2 m  n ✁ 2q   n
En efecto si m   n ➔ m✶   n✶ entonces m   n ↕ m✶   n✶ ✁ 1 , ademas
m   n ✁ 1 ↕ m✶   n✶ ✁ 2 de donde
✶ ✶
1   2   3   . . .   ♣m   n ✁ 1q ↕ 1   2   3   . . .   ♣m   n ✁ 2q
f

Ahora
1

  2   3   . . .   ♣m   n ✁ 1q ✏ 1   2   3   . . .   ♣m   n ✁ 2q   ♣m   n ✁ 1q
✏ ♣m   n ✁ 1q♣2 m   n ✁ 2q   ♣m   n ✁ 1q

Sustituyendo :

♣m   n ✁ 1q♣m   n ✁ 2q   ♣m   n ✁ 1q ↕ ♣m✶   n✶ ✁ 1q♣m✶   n✶ ✁ 2q
2(se recuerda que 1

  2   3   . . .   k ✏ k♣k2 1q )

2

Cantor

Primera de Peirce

As´ı
f

Segunda de Peirce

Farey

Conclusiones

Bibliograf´
ıa

✶

♣ mn✶ q ✁ f ♣ mn q ✏
✒
♣m✶   n✶ ✁ 1q♣m✶   n✶ ✁ 2q   n✶ ✚ ✁ ✒ ♣m   n ✁ 1q♣m   n ✁ 2q   n✚
2

2

➙ ♣m   n ✁ 1q   n✶ ✁ n ✏ m ✁ 1   n✶
✶
✶
Pero como m ➙ 1 y n ➙ 1, m ✁ 1   n ➙ 1 ✁ 1   1 ✏ 1 → 0 se tiene que
m
m✶
f♣ q ➔ f♣ ✶ q
n
n
✶ q ➔ f ♣ m q enconclusi´on, si
De manera sim´
etrica, si m✶   n✶ ➔ m   n entonces f ♣ m
n
n✶
✶
✶
m
m✶
f ♣ n✶ q ✏ f ♣ n q entonces m   n ✏ m   n pero en esas condiciones
♣m✶  n✶ ✁1q♣m✶  n✶ ✁2q ✏ ♣m n✁1q♣m n✁2q de donde la igualdad f ♣ m q ✏ f ♣ m✶✶ q implica
2
2
n
n
n ✏ n✶ .

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Farey

Conclusiones

Primera enumeraci´on de los racionales por Charles S. Peirce.

Nota Hist´
oricaCharles S. Peirce

1839-1914

Bibliograf´
ıa

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Primera de Peirce

Segunda de Peirce

Farey

Conclusiones

Bibliograf´
ıa

Primera Enumeraci´on de los Racionales por Charles S. Peirce.
Mediante el Orden.

La sucesi´
on inicial es la siguiente:

➔ ➔ ➔ 31 ➔ 41 ➔

0
1
2
1
1
1
Luego se marca cada ✭✭lugar✮✮ o intervalo
0
1

✞ ✞

✞ ✞

✞ ✞

✞ ✞

⑤ ➔ ✞✞✞ 11 ✞✞✞ ➔ ✞✞✞ 21 ✞✞✞ ➔ ✞✞✞ 13 ✞✞✞ ➔ ✞✞✞ 14✞✞✞ ➔

Un ✭✭lugar✮✮ se encuentra entre una fracci´
on y un signo, si al lugar lo precede un signo,
´
este se repite despu´
es de la fracci´
on; si lo precede una fracci´
on, se escribe = antes.
0
1

✏ 20 ➔ 12 ➔ 11 ✏ 22 ➔ 32 ➔ 12 ✏ 42 ➔ 52 ➔ 31 ✏ 62 ➔ 72 ➔ 41 ✏ 82 ➔

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Conclusiones

Ahora se marca cada segundo lugar:

✏ ⑤ ➔ ⑤ ➔ ⑤ ✏ ⑤ ➔ ⑤ ➔ ⑤ ✏...