dibujo tecnico selectividad 2009

AG
R

Equivalencia 4- Selectividad 2009

70

Determinar el cuadrado equivalente a la zona sombreada

T

C

3

Figura 2

70

P

0°

N

A

Ñ

0

Figura 1

M

L1

r = R7

Equivalencia 4- Selectividad 2009
O

1

N

h/2
2

M''

M'

3

O'''

L5
O'

M

L3

H

Figura 3

L4

1'

I

J

K'

U Determinar el cuadrado equivalente ala zona sombreada
O
Q

r = 70/3

Hoja 1/2
2'

L3

D

Figura 4
L2

L5

AG
R
45°

R7
0

R

S'

K

E

F

B

O''

L2

L1

Le

G

S

Figura 5

La zona que se quiere cuadrar (figura 1), está limitada por la intersección de los cuatro arcos de
centros los vértices del cuadrado y radio el lado de 70 mm, dando un cuadrado curvilíneo MNÑP, que es
sumadel cuadrado de lado L 1 y de cuatro segmentos circulares.
Analicemos la figura 1:
•
•
•

•

Para el área podemos dividir la zona sombreada en los cuatro segmentos circulares MN, NÑ, ÑP y
PM de radio 70 mm y el cuadrado de lado L 1.
Como los cuatro segmentos circulares son iguales, vamos a ver como determinamos, por ejemplo,el
segmento circular MN, que es resultado de restar al sectorcircular MON el triángulo isósceles MON.
El ángulo en el vértice O vale 30º, pues las tres cuerdas TM, MN y NU son iguales, resultando que
abarcan el ángulo de 90º/3 = 30º. La cuerda TN, abarca 60º, pues el triángulo TNO es equilátero,
luego la cuarda NU abarca 30º y por la simetría, la cuerda TM también abarca 30º.
De lo último dicho, se deduce que el sector circular es una doceava parte delcirculo de radio r = 70
mm, que haciendo unos cálculos geométricos, tenemos.
π x r²
πxr
r
------------- = -------- x ---------- = L 2²
12
4
3
es decir, la media proporcional entre los valores ( π x r)/4 y r/3, siendo el primero la rectificación del
octavo de circunferencia y el segundo termino, la tercera parte del radio r = 70 mm.
Dicho esto el proceso a seguir es el siguiente:Cuadratura del segmento circular MN, proceso similar al visto en la lámina anterior .

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

Se dibuja (figura 2) con centro O', la semicircunferencia AB de radio r.
Se divide el radio AO' en cuatro partes iguales, llevando tres de esas partes a la izquierda del punto
A, obteniendo el punto C.
Se dibuja por B una línea perpendicular al diámetro AB y por O' el radio O'D, queforma 45º.
Se prolonga la línea CD, que corta a la perpendicular por B, en el punto E. El segmento BE es el
octavo de la circunferencia, es decir, ( π x r)/4.
Se divide el radio O'B en tres partes partes iguales, llevando una de ellas en la prolongación del
segmento BE, obteniendo el punto F.
Se dibuja la semicircunferencia de diámetro EF.
Se prolonga el diámetro AB, que corta a lasemicircunferencia anterior, en el punto G. El segmento
BG es el lado L 2, del cuadrado equivalente al sector circular MON.
Se cuadra (figura 3) el triángulo MON por el procedimiento de la media proporcional entre su base, él
MN, y la mitad de la altura h/2, él M'M'', obteniendo el lado L 3.

9.

Ahora aplicando Pitágoras (figura 4), tomando L 3 como cateto y L 2 como hipotenusa, se obtiene L 4,lado del cuadrado equivalente al segmento circular MN de radio r.
10. Como queremos determinar los cuatros segmentos circulares, se dibuja el cuadrado de lado el doble
del L4, obteniendo el cuadrado de lado L 5, de área cuádruple a la del segmento circular MN.
Cuadratura de la suma de los cuatros segmentos circulares y del cuadrado de lado L 1.
11. Aplicando nuevamente Pitágoras (figura 5)entre los lados, L 1 y L5 como catetos, se dibuja el triángulo
RSS' , cuya hipotenusa da el lado Le, del cuadrado equivalente al cuadrado curvilíneo MNÑP.
NOTAS:
•
En este tipo de construcciones, cuando hay que determinar la diferencia de cuadrados, aplicando
Pitágoras, el lado menor se toma como cateto y el mayor como hipotenusa. En caso de sumarse, los
dos lados se toman como catetos.
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