Dibujos Animados

Números Complejos
Definición
Llamaremos número complejo a un número donde a y

Unidad 1

z que se escribe de la forma a + b ⋅ i ,

b son números reales, e i verifica: i 2 = −1 . Al número a se lo denomina parte real de z y al número b, parte imaginaria de z.
parte real

} a

parte imaginaria

+

} b⋅i

Se designa con Re(z ) a la parte real del número complejo z y con Im(z ) ala componente imaginaria de z. Condición de igualdad
Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma parte real y la misma parte imaginaria.

Definición conjunto de número complejo
Se denomina con la letra C al conjunto de todos los números complejos:

C = {z / z = a + b ⋅ i; a ∈ ℜ, b ∈ ℜ}
Nota:
•
Un número complejo cuya parte imaginaria es cero se identifica con un número realque se denomina complejo real. Ejemplo: − 3 + 0⋅i = − 3 ∧ − 3∈ ℜ Todo número real puede considerarse un número complejo cuya parte imaginaria es cero. Un número complejo cuya parte real es cero se denomina imaginario puro. Por ejemplo: 0 − 4⋅i = − 4⋅i

•

Unidad Nª1
• Dos números complejos se denominan conjugados si tienen la misma parte real y las partes imaginarias opuestas. El complejoconjugado del complejo z = a + b ⋅ i se indica con z ; luego z = a − b ⋅ i Ejemplo: Si z = 3 − 8 ⋅ i , su complejo conjugado es z = 3 + 8 ⋅ i

•

1 1 z = − ⋅ i , su complejo conjugado es z = ⋅ i 3 3 Dos números complejos son opuestos si tienen parte real y la parte imaginaria opuestas. El complejo opuesto del complejo z = a + b ⋅ i se indica con − z ; luego − z = −a − b ⋅ i
Ejemplo: Si z = 3 − 8⋅ i , su complejo opuesto es − z = −3 − 8 ⋅ i

1 1 z = − ⋅ i , su complejo opuesto es − z = ⋅ i 3 3

Ubicación del conjunto de los números complejos
El conjunto de los números reales está incluido en el conjunto de los números complejos: ℜ ⊂ C , porque si a ∈ ℜ , es z = a + 0 ⋅ i , y, entonces, z ∈ C

   Naturales ( N )   N0     {o}    Enteros ( Z ) Racionales (Q )    Reales (ℜ) Enteros Negativos     Complejos (C )   Fraccionarios      Irracionales (ℑ)  Im aginarios (Im) 

Representación de los números complejos
Nos preguntamos si podemos representar gráficamente los números complejos. Considerando que un número complejo a + b ⋅ i puede considerarse como el punto de un plano de coordenadas (a; b), donde a es la parte real y b es la parteimaginaria. Los números complejos reales se representaran en el eje de las abscisas (eje real) y a los números complejos imaginarios puros sobre el eje de las ordenadas (eje imaginario).

2

Números Complejos
Este plano formado se denomina plano complejo C.

b

z = a +b⋅i

1

0

1

a

Eje real

Formas de expresar un número complejo
Podemos expresar a los números complejos de cuatroformas distintas. Si lo expresamos de la forma a + b ⋅ i se denomina forma normal o binómica Si lo expresamos (a; b ) se denomina forma de par ordenado, donde la primer componente es la parte real y la segunda es la parte imaginaria. El punto (a; b ) se denomina afijo de z. Las otras dos formas la vamos a nombrar, pero la deducción se verá en años posteriores. Si observas la siguiente figura, alfijar el punto z queda determinado un triángulo rec∆

tángulo oaz del que se conocen las medidas de sus catetos a y b y se puede calcular su hipotenusa por el teorema de Pitágoras. A la medida de ésta la designaremos con r y la llamaremos módulo del vector o del número complejo. Entonces r = a 2 + b 2 El vector forma un ángulo φ con el semieje positivo de las abscisas tomado en el sentidoantihorario. Dicho ángulo se denomina argumento del vector. El valor de ϕ puede determinar matemáticamente por trigonometría o bien por medición. En este curso usaremos esta última forma. Y si decimos que z = r , ϕ , estaremos designando a los números complejos en notación polar o forma polar. Existe otra forma de expresar al número complejo, que es la forma trigonométrica, que se estudiará el año...