Didactica

Universidad de Tarapacá Facultad de Ciencias Dpto. de Matemática

IA GU´ 3 DE EJERCICIOS
ECUACIONES DIFERENCIALES

Definir los siguientes conceptos y dar un ejemplo de cada uno.
1. Funci´nperi´dica. o o 2. Ecuaci´n lineal de orden n, ecuaci´n lineal homog´nea de orden n, ecuaci´n lineal no homog´nea de orden n, o o e o e ecuaci´n lineal homog´nea de orden n con coeficientes peri´dicos,ecuaci´n lineal homog´nea de orden n con o e o o e coeficientes constantes. 3. ¿A qu´ tipo de ecuaciones se le asocia un polinomio caracter´ e ıstico y para que sirve? 4. Conjunto fundamental de funciones. 5.Conjunto de funciones linealmente independiente.

Resolver la siguientes ecuaciones diferenciales lineles de primer orden.
1. x tan2 (y)dy + xdy = (2x2 + tan(y))dx Resp. tan(y) = x(2 sen(x) + C)2. dy 1 − ex y = 2 sen(1/x) − ex cos(1/x) dx x x Resp. y = cos(1/x) + Cee 6. cos(y)dx = (x sen(y) + tan(y))dy Resp. x = K sec(y) − sec(y) log(cos(y)) 7. (2x √ dy + y) 1 + x = 1 + 2x dx √ C Resp. y = √x+ 1 + x

3. x2 dy + xydx = 8x2 cos2 (x)dx Resp. xy = 2x2 + 2x sen(2x) + cos(2x) + C 4. (x5 + 3y)dx − ( = 0 ) xdy x2 3 Resp. y = x +C 2 5. dy sen(2x) − y cotg(x) = dx 2 Resp. y = K sen(x) + sen2 (x)8. x(1 − x2 )

dy − y + ax3 = 0 dx Cx Resp. y = ax + √1−x2

9. (y 2 − 1)dx = y(x + y)dy √ √ Resp. x = y 2 − 1(log(y + y 2 − 1) + C) − y √ 10. (1 + y 2 )dx = ( 1 + y 2 sen(y) − xy)dy √ Resp. x1 + y 2 + cos(y) = C

En cada ´ ıtem, hacer lo que se pide respecto a ecuaciones lineales.
1. Determinar, si existen, soluciones peri´dicas de las siguientes ecuaciones diferenciales: o a) x′ = xsen2 (t) b) x′ = xt sen(t) c) x = xe
′ cos(t)

d ) x′ = (tan(t) − 1)x e) x′ = a(t)x donde a(t) = y a(t + 2) = a(t).

 

t

si 0 ≤ t < 1

 2 − t si 1 ≤ t < 2

2. Probar que lassiguientes funciones son linealmente independientes: Profesor: Lautaro V´squez a p´g. 1 de 2 a INGENIER´ IA

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a) {1, x, x2 , x3 , . . . ,...