dielectrico con carga

Problema :
Se tiene la configuraci´n de la figura 1, donde el cilindro interior, de radio
o
a es un conductor, rodeado de dos c´scaras diel´ctricas de radios b y c y con
a
e
permitividades 1 y 2, y finalmente por una c´scara conductora de radio exterior
a
d. El conductor interior tiene una carga Q1 y el exterior una carga Q2 . La
longitud de los cilindros es L >> d. Se pide calcular:
Lasdensidades, en volumen y superficie, de carga libre
Las densidades, en volumen y superficie, de carga de polarizaci´n.
o
El campo el´ctrico en todo el espacio
e
El potencial electrost´tico en todoel espacio.
a

Figura 1:
Calculamos primero las densidades de carga libre. La carga libre se encuentra
en los conductores (nada en el enunciado del problema nos indica la existencia
de cargalibre en los diel´ctricos), de modo que solo tendremos densidades sue
perficiales de carga. En el conductor interior la carga total es Q1 , de manera
que la densidad de carga libre en la superficie deradio a ser´
a
σa =

Q1
2πaL

En la c´scara conductora el campo el´ctrico es nulo. Entonces, tomando,
a
e
en la c´scara conductora, una superficie de Gauss cil´
a
ındrica conc´ntrica con lose
cilindros de la configuraci´n se tendr´
o
a
E.ds =

Qenc
0

1

o bien
0=

Qa + Qc

=⇒ Qc = −Qa = −Q1

0

Obteniendo luego
σc = −

Q1
2πcL

En la c´scara conductora lacarga es
a
Q2 = Qc + Qd
De donde
Qd = Q2 − Qc = Q2 + Q1
de forma que en la superficie exterior se tiene la densidad de carga
σd =

Q1 + Q2
2πdL

Ya est´n calculadas las densidades de cargalibre.
a
Calculamos ahora el campo el´ctrico. En todos los casos, al usar superficies de
e
Gauss, estas ser´n cil´
a
ındricas, conc´ntricas con el resto de los cilindros, y de
e
longitud L d:planteando el teorema de Gauss
E.ds =

Qenc

=⇒ E(ρ)2πL ρ =

σa 2πaL + σb 2πbL + σc 2πcL

0

0

=

Q1 L
Q1 L
(Q1 + Q2 )L
+
−
0L
0L
0L

de donde
E(ρ) =

Q1 + Q2
2 0 πLρ

D(ρ)...