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APUNTE N° 1 DE CALCULO I


Concepto de Límite Sea f una función tal que su dominio contiene todos los números (puntos) x de algún intervalo con [pic] como centro, excepto quizás [pic] mismo. Si existe un número [pic] tal que, a medida que tomamos valores de x más y más cerca de [pic], los valores de [pic] pueden llegar a ser finalmente menores que cualquier número positivo dado, por pequeñoque éste sea, entonces diremos que f(x) tiene de L como Límite cuando x tiende a [pic] y escribiremos:

[pic]


Definición clásica: [pic]


Geométricamente esto representa:

[pic] y=f(x)

[pic]
[pic]



[pic] [pic] [pic]


El concepto de límite es fácil decomprender intuitivamente, pero no se puede manejar matemáticamente esta idea sin una definición formal de ella.

Para lograr tal formalización debemos, en primer lugar, precisar que entenderemos por “cerca de [pic]”, [pic][pic], si los valores de x están en un intervalo abierto con centro en o sea un intervalo de la forma [pic], con radio [pic]pequeño, [pic]. Es decir, x está cerca de [pic] si[pic], con [pic]pequeño. Un intervalo de la forma [pic] se llama una vecindad de [pic].





Definición en [pic]R: Sea f una función real, [pic] que tiene un límite M que tiende a “c”. Esto se anota
[pic][pic][pic] [pic] valor próximo a “c”



Ej: Sea [pic] para x próximo a 3.
Es decir c=3 y el gráfico es


[pic]=







Esto se refiere allímite de la función que se acerca en torno a 3 por ambos lados, izquierdo y derecho.

Por ejemplo, si nos acercamos al punto 3 con los valores próximos, se tiene

2,99 ( x ( 3,01
es decir 6,9401 ( f(x) ( 7,0601

pero, que sucede si nos acercamos un poco más como es

2,999 ( x ( 3,001
se obtiene 6,994001 ( f(x) ( 7,006001

aún podemos acercarnos más alpunto 3

2,9999 ( x ( 3,0001
se obtiene que la función es 6,99940001 ( f(x) ( 7,00060001


es decir, podemos establecer que si se elige un intervalo en torno a c=3 cada vez más pequeño, entonces f(x) fluctúa en un intervalo en torno a M=7.

entonces [pic] [pic]



Consideraciones:
➢ Una variable V es un conjunto de valores y tiende a un valor constante comoL(límite), cuando los valores sucesivos de la variable son tales que la diferencia V-L puede ser un valor positivo como se quiera.

[pic] ( [pic], [pic]
➢ El límite de una función no existe siempre, pero si existe, es único.

➢ Existen límites laterales en que f(x) se aproxima arbitrariamente a un número L, por la derecha y la izquierda.

➢ Si f(x) puede hacersearbitrariamente cercano a un número finito L, tomando [pic] suficientemente grande, entonces [pic]


PROPIEDADES DE LOS LIMITES:

Si [pic], [pic], k=cte. se cumple que:


1. [pic]

2. [pic] m,b y c constantes.

3. [pic]
4. [pic] [pic]
5. [pic]
6. [pic]
7. [pic]
8. [pic]
9. [pic]
10. [pic]
11. [pic]
12. [pic]
13. [pic]
14. [pic]
15. [pic]
16. [pic]

17. [pic]18. [pic]
19. [pic]



20. Procedimiento para calcular límite de una función en el caso de que el lim tienda a un n° ,se recomienda;

1° Evaluar la función
2° Factorizar y simplificar, usando productos notables.
3° Aplicar división de polinomios.
4° Racionalizar.

21. Procedimiento para calcular el límite de una función en el caso de que el limtienda a infinito [pic]se recomienda;


1° Dividir por la mayor potencia.
2° Racionalizar si existen raíces.










EJERCICIOS RESUELTOS DE LIMITES

1) Calcular [pic]
Solución: de acuerdo al procedimiento sugerido lo primero a aplicar es evaluar o valorar el límite, reemplazando x=1

resulta entonces [pic]


2) Calcular [pic]
Solución:...