DIFER

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y ESTADISTICA
ESTADISTICA INFERENCIAL Y MUESTREO.

DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS
Muchas veces es necesario estudiar dos poblaciones de una misma variable. Supongamos que la variable se
distribuye normalmente en ambas poblaciones y que de cada una se extrae independientemente una muestra
aleatoria con tamaños n1 y n2respectivamente, y que además se calcula la media de las dos muestras. A partir
de éstas dos medias muestrales es posible generar nuevas variables que relacionen las dos poblaciones Por
ejemplo, se pueden sumar, restar, multiplicar o dividir los valores de las dos medias muestrales y originar otras
variables cuyos valores estarían representadas por el resultado de las operaciones realizadas. De estasnuevas
variables la más conveniente para la inferencia estadística es la diferencia de medias muestrales debido que se
conocen las propiedades de su distribución de frecuencia. Cuando el muestreo de una variable se hace a partir
de poblaciones que se distribuyen normalmente, la diferencia de medias muestrales es una nueva variable
(Figura 4.6) que de acuerdo a la propiedad reproductiva también sedistribuye normalmente con media y
varianza igual a:



x  y 



x 



y 



x 



  xy    x    y 
2

2

2

y 

2

2
x  y

n2
n1

Conocido el modelo de probabilidad que describe la distribución de la diferencia de medias muestrales, se
puede calcular la probabilidad de ocurrencia de un determinado valor de la diferencia de medias muestrales,
utilizando latransformación de Z.
z 

x  y   μx  μy 
σxy

La diferencia de medias muestrales y el Teorema del Límite Central. Cuando se desconoce la distribución de la
variable, se pueden deducir las propiedades de la distribución de la diferencia de medias muestrales a partir del
Teorema del Límite Central. Por lo tanto, si el muestreo se realiza a partir de poblaciones con distribución
desconocida y eltamaño de las muestras es grande ( n1 y n2 ³ 30), se aplica el teorema y la distribución de la
diferencia de medias muestrales tendrá una media y una varianza igual a:



x  y 

 

x 



y 

 

x 



  xy    x    y 
2

2

2

y 

2

2
x  y

n2
n1

A. DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIA ENTRE DOS MUESTRAS. z 

x  y   μx  μy  x  y   μx  μy 
σxy



 2x
n2



 2y 
n1

1. Una muestra de tamaño 5 se obtiene aleatoriamente en una población de una variable normalmente
distribuida con media igual a 50 y varianza igual a 9 y se registra la media muestral. Otra muestra aleatoria
de tamaño 4 se selecciona en una segunda población de la misma variable cuya media es igual a 40 y su
varianza igual a 4. Encuentre la probabilidad de que el valor de ladiferencia de las medias muestrales sea
menor a 8,2.
2. En un estudio para comparar los pesos promedios de niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria
se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para
niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado
de esa escuela es de 100 librasy su desviación estándar es de 14.142 libras, mientras que el promedio de
los pesos de todas las niñas de sexto grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de
12.247 libras. ¿En cuál de la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20
libras más grande que el de las 25 niñas?.
3. De cada una de dos poblaciones normales e independientes coniguales medias y desviaciones estándar
de 6,40 y 7,20; se extraen muestras de 64 elementos. Encontrar la probabilidad de que la diferencia entre
las medias de las muestras exceda de 0,60 en valor absoluto.
4. El rendimiento medio de los autos de la marca A es de 20 kilómetros por galón de gasolina, con una
desviación estándar de 6 k.p.g. Las cifras comparables para los autos B son 25 y 5,5 k.p.g. Se...