DIFERENCALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES

DIFERENCIACIÓN
La diferenciación numérica se puede explicar de manera sencilla como aquella función donde, dado un punto xn existe un punto próximo o cercano denominado xn+1 el cual tiene una diferencia pequeña de aproximación del punto inicial. Es decir, que para un punto x existe una función f(x) que satisface una ecuación:

donde h= xn+1 que equivale a la diferencia pequeña que hay entreeste punto y el punto x.

USO DEL DESARROLLO DE TAYLOR
El desarrollo de Taylor consiste en considerar una función que se encuentre definida en un intervalo, mismo que contiene un punto que puede ser derivado en cualquier orden, es decir:
f:(a,b) R
donde existe un polinomio p(x) de grado n que tiende al límite de la función equivalente a cero:

El polinomio de Taylor se puede expresarcomo:


la diferencia entre la función f(x) y su polinomio de Taylor hasta el orden n,
basado en punto de partida x0, se define como:

rn (f(x0)) (x) = f(x) – Tn (f(x0)) (x)
Series de Taylor notables
A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones importantes. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x.
Función exponencial y logaritmo natural:Serie geométrica:

Teorema del binomio:

Función trigonométrica:






Función hiperbólica:





Función W de Lambert:

ALGORITMO GENÉRICO PARA OBTENER UNA APROXIMACIÓN POR DIFERENCIAS
El algoritmo genérico para obtener una aproximación por diferencias permite evaluar la derivada de cualquier orden en un punto determinado, de forma general, para obtener las fórmulas deaproximación por diferencias de cierta derivada de orden n, establecida en un número de puntos m que depende de la precisión que se busca.
Sea el punto m considerado en un intervalo equivalente a:

i = α, β,…….., λ
Donde:
m ≥ n + 1
y n el orden de la derivada, considerando las abscisas de los puntos:
xi = αh, βh,…….., λh
con:
i = α, β,…….., λ
Se concluye que la aproximación pordiferencias de la derivada de orden n con m puntos, queda expresada como:


donde, desde la serie aα = a0 hasta aλ =equivalen a los coeficientes indeterminados de m y:

fα = f (xα), fβ = f (xβ)
equivale a las coordenadas que se utilizan en este método y el término E equivale al máximo orden posible.

USOS DE LOS OPERADORES DE DIFERENCIAS
El uso de los operadores de diferencias se utiliza cuandono se puede dar una solución numérica por el polinomio de Taylor. Este método consiste en construir nuevos puntos a partir de conocer un conjunto de puntos que se encuentran dentro del intervalo de solución, y también se conoce como método de interpolación.
Suponga que se desea encontrar un polinomio de primer grado que pasa por los puntos (x0, y0) y (x1, y1) para aproximar a una función f,para la que f(x0)=y0 y f(x1)=y1 por lo que obtenemos las funciones:


y

por lo tanto:
P(x) =L0(x) f(x0) + L1(x) (x1)
como:
L0(x0) =1, L0(x1) = 0, L1(x0) = 0, L1(x1) = 1
se tiene que:
P(x0) = 1* f(x0) + 0*f(x1) = f(x0) = y0

P(x1) = 0* f(x0) + 1*f(x1) = f(x1) = y1

Ecuaciones diferenciales
La solución de ecuaciones diferenciales implica que se cuente con los elementos esencialesdel álgebra, cálculo diferencial e integral, álgebra vectorial, es decir, el dominio de las matemáticas aplicables a la ingeniería y el mundo real.
En la materia de métodos numéricos se requiere de esas habilidades cognitivas aplicables a problemas reales.
En este apartado se abordan métodos que son soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales, que resuelven problemas matemáticos através de la iteración numérica.


Métodos rígidos y de pasos múltiples.
Rigidez.
Un sistema rígido es aquel que tiene componentes que cambian rápidamente, junto con componentes de cambio lento. En muchos casos, los componentes de variación rápida son efímeros, transitorios, que desaparecen, después lo cual la solución es denominada por componentes de variación lenta. aunque los fenómenos...