Diferencia De Conjuntos

De la definición de la diferencia de conjuntos, puede deducirse inmediatamente:
* Elemento neutro. La diferencia entre un conjunto y el conjunto vacío es el propioconjunto:A − ∅ = A * La diferencia de un conjunto menos él mismo es el conjunto vacío:A − A = ∅ |
Estas igualdades son un caso particular de la siguiente propiedad:
* La diferenciaentre dos conjuntos es el conjunto vacío si y sólo si el primero es un subconjunto del segundo:A − B = ∅ si y sólo si A ⊆ B * La diferencia entre dos conjuntos es igual alprimer conjunto si sólo si ambos conjuntos son disjuntos:A − B = A si y sólo si A ∩ B = ∅ |
La intersección de dos conjuntos es la parte que tienen en común, mientras que ladiferencia es la parte que no comparten. Esto se traduce en la siguiente propiedad:
Dados dos conjuntos, su intersección y su diferencia son disjuntos entre sí, pero su unión es elprimero de los conjuntos iniciales:(A ∩ B) ∩ (A \ B) = ∅, pero (A ∩ B) ∪ (A \ B) = A |
Esto quiere decir que la intersección y la diferencia entre A y B son una(posible) partición de A.
La diferencia de conjuntos está muy relacionada con el complemento de un conjunto:
El complemento de un conjunto es la diferencia entre el conjunto universal y élmismo:A∁ = U \ A |
Es por esto que la diferencia de dos conjuntos, A menos B, se denomina también el complemento relativo de B respecto de A: A \ B es el complemento absoluto de B, considerandoa A como el conjunto universal . Las leyes de De Morgan y otras propiedades del complemento de un conjunto tienen entonces su contrapartida en la diferencia de conjuntos, si setiene en cuenta que
Si se considera un conjunto universal, la diferencia entre dos conjuntos es la intersección del primero con el complemento del segundo:A \ B = A ∩ B∁ |