Diferencia de derivadas

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE LOS CABOS

“Por una patria con sabiduría y espíritu de progreso”

“DERIVADAS”

Materia

CALCULO DIFERENCIAL
PRESENTA:
PÉREZ IBARRA CRISTIAN URIEL

Grupo:
INGENIERIA ADMINISTRATIVA – 01V

PROFESOR:
José Manuel Regalado


San José del Cabo, B.C.S. Noviembrede 2011

Diferencia de una derivada con una diferencia.

La diferencial de la variable independiente(x) coincide con el incremento de dicha variable. Es decir: dx=delta x
La diferencial de la variable dependiente o función (y) es igual al producto de la derivada de la función multiplicada por dx(o delta x, que es lo mismo).Es decir: di=f`(x).dx
Según el tipo de función que se tenga puedesuceder que di sea igual, menor o mayor que el incremento de la variable dependiente o incremento de la función delta y.
Tanto delta y como de se marcan gráficamente por un segmento vertical orientado hacia arriba o hacia abajo según el signo que tenga
Pero delta y se toma hasta la gráfica de la función mientras que dé se toma hasta la recta tangente
En cambio la derivada es el límite delcociente incremental(o cociente de los incrementos delta y/delta x) para delta x tendiendo a cero
Y también se puede definir como el cociente de los diferenciales. Es decir: y´=f´(x)=dy/dx
Se interpreta de distintas maneras:
Puede interpretarse como la tasa de variación de la función en el punto considerado. Lo que quiere decir que nos indica cuantas unidades tiende a variar (aumentar o disminuir)"y" en ese punto por cada unidad de crecimiento de "x"
También puede decirse que indica la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto considerado.

Derivados del orden superior.

Sea f una función diferenciable, entonces se dice que f ' es la primera derivada de f; puede suceder que esta nueva función sea a su vez derivable, en este caso a la derivada de la primeraderivada se le denomina segunda derivada de la función primitiva f. Del mismo modo, la derivada de la segunda derivada se llama tercera derivada de f, y así sucesivamente hasta la enésima derivada.
Como la derivada de una función es otra función, entonces podemos tratar de hallar su derivada. Si hacemos tal cosa, el resultado es de nuevo una función que pudiera ser a su vez derivada. Sicontinuamos así una y otra vez, tenemos lo que se conoce por derivadas de orden superior.
Por ejemplo, si f(x) = 6x3 - 5x2, entonces la:
Primera derivada es: f’(x) = 18x2 - 10x
Segunda derivada es: f"(x) = 36x – 10
Tercera derivada es: f’’’(x) = 36
Cuarta derivada es: f (4) (x) = 0.n-exima derivada es: f(n) (x) = 0
Ejemplos para discusión:
1) Si f(x) = -x4 + 2x3 + x + 4, halla f’’’ (-1).
2)Halla las primeras cuatro derivadas de:

Regla de L’ Hospital.

La Regla de L” Hospital establece que bajo ciertas condiciones, el límite del cociente de dos funciones f(x)/g(x) coincide con el límite del cociente de sus derivadas.
Su demostración utiliza el resultado como teorema general del valor medio.
Sean f y g funciones derivables en un intervalo abierto (a, b) que contiene a c,excepto posiblemente en el propio c. Supongamos que g’ (x) ≠ 0 para todo x en (a, b), excepto en el propio c. Si el límite de f(x)/g(x) cuando x tiende a c produce la forma indeterminada 0/0, entonces.
Puesto que el límite de la derecha existe o es infinito. Este resultado es válido también si el límite de f(x)/g(x) produce cualquiera de las formas indeterminadas ∞/∞, (-∞)/∞, ∞/(-∞), o (-∞)/(-∞).La regla del L’Hopital puede aplicarse a límites laterales. Por ejemplo, si el límite de f(x)/g(x) cuando k tiende a c por la derecha produce la forma indeterminada o/o, entonces.
Puesto que este último límite existe (o es infinito).
 Cuando calculamos límites, en el Volumen I, nos encontramos con que muchos de ellos eran en principio límites indeterminados de la forma. Igualmente, calculamos...