diferencia de proporciones

198

Bioestad´
ıstica: M´todos y Aplicaciones
e

el sondeo.

8.3.3.

Intervalo para la diferencia de dos proporciones

Vamos a considerar que tenemos dos poblaciones de modo que en cadauna de ellas estudiamos una v.a. dicot´mica (Bernoulli) de par´metros reso
a
pectivos p1 y p2 . De cada poblaci´n vamos a extraer muestras de tama˜o
o
n
n1 y n2

X1 ≡ X11 , X12 , . . . , X1n1X2 ≡ X21 , X22 , . . . , X2n2
Entonces
n1

X1i ;B (n1 , p1 )

X1 =
i=1
n2

X2i ;B (n2 , p2 )

X2 =
i=1

Si las muestras son suficientemente grandes ocurre que una aproximaci´n
o
paraun intervalo de confianza al nivel 1 − α para la diferencia de proporciones de dos poblaciones es:
p1 − p2 ∈ (p1 − p2 ) ± z1−α/2 ·
ˆ
ˆ

p1 q 1 p2 q 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
+
n1
n2

Ejemplo
Se cree que laosteoporosis est´ relacionada con el sexo. Para ello se
a
elige una muestra de 100 hombres de m´s de 50 a˜os y una muestra de 200
a
n
mujeres en las mismas condiciones. Se obtiene que 10 hombresy 40 mujeres
con alg´n grado de osteoporosis. ¿Qu´ podemos concluir con una confianza
u
e
del 95 %? Soluci´n:
o

´
8.3. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA VARIABLES DICOTOMICAS 199

Llamamos p1 ala incidencia de la osteoporosis en las mujeress de m´s
a
de 50 a˜os y p2 a la de los hombres. Calculemos un intervalo de confianza
n
para la diferencia (p1 − p2 ). Si 0 no forma parte de dichointervalo con una
confianza del 95 % podemos decir que p1 es diferente a p2 (con tal grado de
confianza, por supuesto).
La estimaci´n puntual insesgada que podemos hacer de ambos par´meo
a
tros apartir de los datos muestrales son:
p1 = 40/200 = 0, 2
ˆ
p2 = 10/100 = 0, 1
ˆ

(p1 − p2 ) = (0, 2 − 0, 1) ±

0, 2 × 0, 8 0, 1 × 0, 9
+
= 0, 08
200
100

Es decir, enemos una confianza del 95% en la afirmaci´n de que la difeo
rencia entre la incidencia de osteoporosis en mujeres y hombres est´ entre
a
0,02 (2 %) y 0,18 (18 %).
Obs´rvese que como 0 % no es un valor de dicho intervalo...