diferenciabilidad b 1

ESCUELA DE INGENIER´
IA DE ANTIOQUIA
´
CALCULO DE VARIAS VARIABLES
DIFERENCIABILIDAD
4 de agosto de 2015

f (a + hy) − f (a)
, calcular las siguientes derivadas direccionalesen
h→0
h
los puntos y en las direcciones indicadas: (Recuerde que para el c´alculo de las derivadas direccionales,
el vector que da la direcci´
on debe ser unitario).

1. Usando ladefinici´
on f (a; y) = l´ım

a) f (x, y) = x2 √
+ 2xy + 3y 2 , a = (2, 1),
y = (1, 1). R: 8 2.

b) f (x, y, z) = x − 2y + z 2 , a = (3, 1, −2),
y es un vector en la direcci´onab donde b =
(10, 7, 4)
29
R: − .
11

2. Demostrar que los siguientes campos escalares f (x, y) son diferenciables en un punto cualquiera a =
(a1 , a2 ) de su dominio haciendo losiguiente:
1) Calcule ∆fa (h) donde h = (h1 , h2 ).
2) Identifique en esta expresi´
on la diferencial dfa (h), la cual es de la forma A · h.
∆fa (h) − dfa (h)
= 0.
3) Verifiqueque l´ım
h→0
h
a) f (x, y) = x2 y − 2xy.

b) f (x, y) =

x2
, y=0
y

3. Calcular f (a; y) usando la f´
ormula ∇f (a) · y. Utilizar y unitario.
a) f (x, y) = x3 − x2 y + xy 2 + y3 ,
a = (1, −1), y = (2, 3)
√
R: 12
13 13

b) f (x, y) = sin(x) cos(y)
a = ( π3 , − 2π
3 ), y = (4, −3)
R: − 13
20

4. Calcular el vector gradiente o la matriz jacobiana de lafunci´on f seg´
un si es un campo escalar o un
un campo vectorial.
a. f (x, y) = x2 + y 2 sin(xy) R: ∇f (x, y) = 2x + y 3 cos(xy), 2y sin(xy) + xy 2 cos(xy)
b. f (x, y, z) = x2 − y2 + 2z 2 R: ∇f (x, y, z) = (2x, −2y, 4z).
2x
4y
−6z
,
,
.
c. f (x, y, z) = ln(x2 +2y 2 −3z 2 ) R ∇f (x, y, z) =
x2 + 2y 2 − 3z 2 x2 + 2y 2 − 3z 2 x2 + 2y 2 − 3z 2
d. f (x, y) =ex+2y , sin(y + 2x) .
e. f (u, v, w) = u + 2v 2 + 3w3 , 2v − u2 .
Respuestas:
d. Df (x, y) =

ex+2y
2ex+2y
2 cos(y + 2x) cos(y + 2x)

e. Df (u, v, w) =

1
4v 9w2
−2u 2
0