Diferenciabilidad

ALEPH SUB – CERO
SERIE DE DIVULGACIÓN
ℵ0 2010 – II ℵ0
pp. 22 - 44
DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Ejercicios ilustrativos
Carlos Enrique Núñez Rincón1
Algunos trucos del cálculo son bastante fáciles, otros son muy difíciles. Los tontos
que escriben los libros de matemáticas avanzadas pocas veces se toman la molestia
de mostrar cuán fácil son los cálculos fáciles.Silvanus P. Thompson - Calculus Made Easy, Macmillan 1910.

Resumen:
En el presente artículo se hace una exposición de un conjunto de ejercicios
vinculados con la diferenciabilidad de funciones de varias variables, tema que se
desarrolla en la asignatura Matemática III del pensum de estudio de las diferentes
carreras de ingeniería que configuran la Oferta Académica de la UNET. El
propósito esestablecer la conceptualización a través de ejemplos y contraejemplos
la diferenciabildad de las funciones de varias variables. Para ello, se utilizan
funciones de dos variables, ya que es posible mostrar el trazado de su gráfica en el
espacio »3 . No obstante, estas ideas son extensibles a funciones de más de dos
variables. Los ejercicios se desarrollan de manera usual, complementados con elsistema computacional para la matemática avanzada MAPLE 12 para el trazado de
la gráfica de las diversas funciones inmersas en la exposición. Esta dirigido al
alumno-UNET, así como a todo aquel que esté interesado en el tema.
Palabras claves: función, variable, límite, continuidad, derivada parcial,
diferenciabilidad, conjunto cerrado, conjunto compacto, conjunto no acotado,
condición delresiduo, función ampliada por continuidad, conjunto denso, derivada
direccional, teorema, función clase C1 , Teorema de Schwarz, función clase C 2 .
1

El autor del artículo es Licenciado en Matemática, egresado de la Universidad de los Andes –
ULA-Venezuela. Asimismo, es Magister y Doctor en Ciencias. Actualmente es Profesor en la
Categoría de Titular, adscrito al Departamento de Matemática yFísica de la Universidad
Nacional Experimental del Táchira-UNET, Táchira-Venezuela. cnunezr@gmail.com

Diferenciabilidad de funciones de varias variables
Ejercicios ilustrativos
Abstract:
In the present paper is made an exposition of a set of exercises linked to the
differentiability of functions of several variables, topic that takes place in the curse
of Mathematics III of the variousengineering degree programs that comprise the
Academic Offer of the UNET. The purpose is to establish the conceptualization of
the functions of several variables through examples and counterexamples. This is
done using functions of two variables given that it is possible to display its
graphical layout in the »3 space. However, these ideas are extended to functions of
more than two variables.The exercises are conducted in the usual way,
supplemented by the computer system for advanced mathematics MAPLE 12 for
plotting the graph of the various functions embedded in the exposition. The paper is
aimed to the UNET students, and anyone who is interested in the topic.
Key word: function, variable, limit, continuity, partial derivatives, differentiability,
closed set, compact set,unbounded set, condition of the residue, expanded function
for continuity, dense set, directional derivative, theorem, function class C1 ,
Schwarz Theorem, function class C 2 .
Ejercicio 1. Dada la función f : U ⊆ » 2 → », definida por
 x− y
, si 2 x + 3 y ≠ 0

f ( x, y ) =  2 x + 3 y
0,
si 2 x + 3 y = 0

Estudiar su continuidad.
Consideremos el conjunto D conformado por los puntos dediscontinuidad. Determinar: si D es cerrado y si D es compacto.
iii) Determinar si las derivadas parciales de primer orden están definidas en
el punto ( 0,0 ) .
iv)
En concordancia con la respuesta del apartado iii, establecer si f es
diferenciable en ( 0,0 ) .
Solución.
i)
ii)

i) Es claro que la función es discontinua en todos los puntos de la recta 2 x + 3 y = 0 ,
(ver figura 1):...