Diferenciación numerica

DIREFENCIACIÓN NUMERICA.

A la ecuación 1 se le conoce con el nombre especial en el análisis numérico, se le llama diferencias divididas finitas.
 
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Se puede representar generalmente como:
 
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o
 
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Donde al diferencial se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y a h se le llama tamaño del paso, esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se hace laaproximación.
Se le llama diferencia " hacia adelante " ya que usa los datos(i) e (i+1) para estimar la derivada.
Al termino completo (o sea, la diferencial entre h ) se le conoce como primera diferencia dividida finita.
Esta diferencia dividida hacia adelante no es sino una de tantas que se pueden desarrollar mediante la serie de Taylor para la aproximación de derivadas numéricas.
Porejemplo, las aproximaciones a primeras derivadas, utilizando las diferencias hacia atrás o las diferencias centrales se pueden desarrollar de una manera similar a la de la ecuación 2.
Las primeras usan a , mientras x con sub-indice i+1 que las segundas usan información igualmente espaciada alrededor del punto donde esta estimada la derivada.
Las aproximaciones mas exactas de la primer derivada sepueden desarrollar incluyendo en la serie de Taylor términos de orden mas alto.
Finalmente, todas las versiones anteriores se pueden desarrollar para derivadas de segundo orden, tercer orden y ordenes superiores. Las siguientes secciones analizan brevemente estos casos, ilustrando como se deriva cada una de ellos.

APROXIMACION A LA PRIMERA DERIVADA
CON DIFERENCIAS HACIA ATRÁS.

La serie deTaylor se puede expandir hacia atrás para calcular un valor anterior sobre el valor actual, dada por:
 
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Truncando la ecuación después de la primera derivada y ordenando los términos se obtiene:
 
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Donde los errores es 0 (h) y el diferencial indica la primer diferencia dividida hacia atrás.

APROXIMACIONES A LA PRIMER DERIVADA CON DIFERENCIAS CENTRALES.

Una tercera forma deaproximar la primer derivada es restar la ecuación 4 de la expansión en serie de Taylor hacia adelante:
 
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para obtener
 
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que se puede resolver para
 
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o
 
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La ecuación 9 es una representación de las diferencias centrales ( o centradas )de la primera derivada.
Nótese que el error de truncamiento es del orden de en contraste con las diferencias divididas haciaadelante y hacia atrás, las cuales fueron de orden h.
Por lo tanto, el análisis de la serie de Taylor ha llevado a la información practica de que la diferencia central es la representación mas exacta de la derivada.
Por ejemplo, si se parte el tamaño del paso a la mitad usando diferencias hacia atrás o hacia adelante, el error se reducirá aproximadamente a la mitad, mientras que para diferenciascentrales, el error se reduce a la cuarta parte.

APROXIMACIONES A DERIVADAS DE ORDEN MAS ALTO
USANDO DIFERENCIAS FINITAS.

Junta a la primera derivada, la expansión de la serie de Taylor se puede usar para una estimación numérica de las derivadas de orden superior.
Para hacerlo, se escribe una expansión en la serie de Taylor hacia adelante para en términos de de la siguiente forma:
  
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La ecuación 8 se puede multiplicar por 2 y restarse de la ecuación 10 para obtener:
 
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que se puede resolver para
 
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A esta relación se le llama diferencias divididas finitas hacia adelante de segundo orden. Se pueden usar procedimientos similares para obtener las versiones hacia atrás y centrales.
Las aproximaciones a tercer orden de las diferencias divididas haciaadelante, hacia atrás y centrales también pueden obtenerse ( véase en fórmulas mas adelante ). En todos los casos, las diferencias centradas dan una mejor aproximación.

FORMULAS DE EXACTITUD PARA DIFERENCIAS
DE ORDEN SUPERIOR

Todas las estimaciones anteriores truncaron las estimaciones dadas por la serie de Taylor después de algunos términos.
Las fórmulas de mas exactitud se pueden...