DIFERENCIACI N NUM RICA

DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA
En los cursos de cálculo se define la derivada de ƒ en x0 como .

Una manera razonable de aproximar la derivada es
 (1).
Para el caso de una función lineal, ƒ(x) = ax + b, laaproximación dada por la expresión (1) resulta exacta para cualquier valor de h distinto de cero. Pero para cualquier función ƒ en general no siempre resulta exacta.
A continuación se hace unaestimación del error asociado a la aproximación dada por (1) usando el teorema de Taylor con un polinomio de grado 1.
 
si x = x0 + h, x - x0 = h, y reemplazando en (2) resulta:

si se despeja ƒ’(x0)entonces:

 (3).
Observe que la ecuación (3) es más útil que la ecuación (1), ya que tiene un término que cuantifica el error y este se conoce como término de error.
        
Ejemplo. Si se utiliza lafórmula (1) para calcular la derivada de 
ƒ(x) = sen(x) en  y con h = 0.01. ¿Cuál es la respuesta y cuál es su grado de precisión o error?
Solución:
 
Se puede obtener una cota más precisa usando el hechoque x0 < z < x0 + h
de modo que |sen z| < 0.714142376 y la cota sería

Observe que si ƒ(x) = sen x , ƒ ´(x) = cos x y 
El error real es: 0.707106781 – 0.703559491 = 0.003547290186.
Se puede obtenerotra fórmula para aproximar la derivada usando la ecuación (2),

si x = x0 – h, x – x0 = -h, reemplazando el valor de x se tiene :

si se despeja f ´(x0) resulta:
 (4)
A la aproximación (1) se le llamafórmula de diferencia hacia delante y a la aproximación dada por (4) se le conoce como fórmula de diferencia hacia atrás, ambas fórmulas presentan el mismo error. Se puede obtener otra fórmula paraaproximar la derivada con un error que involucre h2 usando un polinomio de grado 2 así:

Si se reemplaza x = x0 + h y x = x0 – h en (5) resulta:

Si se restan las anteriores ecuaciones, se tiene :

Ahorase despeja f ´(x0) ,
    (6) 1

La anterior fórmula para aproximar la derivada de ƒ se la conoce como diferencia centrada.
En las figuras 4.1 y 4.2 se ilustran las aproximaciones dadas por las...