DIFERENCIACI N E INTEGRACI N NUM RICA

DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA.
Una integral definida tiene la forma,Donde a, b son el límite inferior y superior de integración, respectivamente, f(x) es la función a integrar y dx es la diferencial de x. La integral, geométricamente, representa el área delimitada por el lugar geométrico de la función,  f(x), el eje de la abscisas, y la dos rectas verticales x = a  y  x = b,  ver lafigura,

 
Cuando, la integral definida es muy difícil o de plano imposible de resolver, existen estrategias que permiten tener una solución aproximada. La integral definida permite que, geométricamente, se determine una aproximación a través de trapecios. Otra forma de obtener una solución aproximada a la integral definida es tratar de ajustar un polinomio al lugar geométrico de la función aintegrar, y así en vez de integrar la función f(x), se integra el polinomio Pn(x), Al igual que la integral, la derivada tiene un significado geométrico que permite una aproximación numérica. Así, la derivada representa, geométricamente, la pendiente de una recta tangente,

 La recta es tangente al lugar geométrico de la función f(x). Toman dos puntos alrededor del punto de tangencia esposible representar la pendiente a través de,
La idea anterior puede retomarse como base para determinar una aproximación a la derivada de una función, junto con estrategias que mejoren dicha aproximación.
Métodos de Integración Numérica
Dada una función f definida sobre un intervalo [a,b], estamos interesados en calcular

Suponiendo que esta integral tenga sentido para la función f.La cuadratura o integración numérica consiste en obtener fórmulas aproximadas para calcular la integral J(f) de f. Estos métodos son de gran utilidad cuando la integral no se puede calcular por métodos analíticos, su cálculo resulta muy costoso y estamos interesados en una solución con precisión finita dada o bien sólo disponemos de una tabla de valores de la función (es decir, no conocemos la forma analítica de f).Integración  interpolación polinomial
Una estrategia muy útil para calcular el valor numérico de la integral dada por la ecuación (74) consiste en reemplazar f por otra función g, fácil de integrar, que aproxima a f de forma adecuada. Si , se deduce que

Los polinomios son buenos candidatos para el papel de g. De hecho, g puede ser un polinomio que interpola a f en cierto conjunto de nodosSupongamos que deseamos calcular la integral (74). Podemos elegir una serie de nudos, en el intervalo [a, b] e iniciar un proceso de interpolación de Lagrange. El polinomio de grado menor o igual a n que interpola a f en los nudos es:


 
Regla del trapecio
Si en la expresión (76) empleamos polinomios de grado n=1 y tomamos como nudos x0=a y x1=b, tenemos el caso más sencillo posible, en donde lospolinomios de interpolación son:

Esta expresión se conoce como regla del trapecio y proporciona un resultado exacto para todas las funciones de grado menor o igual a 1

 Regla de Simpson Empleando un razonamiento similar al anterior y tomando un polinomio de grado n=2 para interpolar a f, obtenemos la conocida regla de Simpson:

que es exacta para todos los polinomios de grado <=2 y curiosamente,exacta para todos los polinomios de grado <=3.
En los cálculos prácticos se emplea, generalmente, la regla de Simpson compuesta, en la que el intervalo de integración [a,b] se divide en un número par, n, de subintervalos. Tenemos entonces:
 


Ejemplos:


otro ejemplo :



Optimizaci´on de una funci´on sin restricciones
P) min f(x)
x ! Rn
• f(x) funci´on diferenciable
• !x = (x1, x2, ..., xn) esm´ınimo local si:
f(!x) " f(!x + !h) #!h = (h1, h2, ..., hn) tal que |hj| es suficientemente
peque˜no para todo j.
• !x es un m´ınimo local si el valor de f(!x) en cada punto del entorno o
vecindad de !x no es menor a f(!x).
Apuntes de Clases • Optimizaci´on • Claudio Seebach No Lineal • 3
Condiciones Necesarias y suficientes para
extremos
Teorema 1 (Condici´on necesaria de 1er orden). Si ¯x !...