diferenciacion numerica

Diferenciación Numérica
El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta seconoceunicamente en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función representael resultado de algún experimento). En esta lección estudiaremos técnicas paraaproximarlas derivadas de una función y veremos el análisis de error de dichasformulas.
Métodos básicos de la diferenciación numérica
El cálculo de la derivada de una función puede ser unproceso “difícil” ya sea por lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoceúnicamente en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la funciónrepresentael resultado de algún experimento). En esta lección estudiaremos técnicas paraaproximar las derivadas de una función y veremos el análisis de error de dichasformulas.Formulaspara la primera derivada: La definición de la derivada de unafunción f(x) en el punto “x” esta dada en términos del límite:De esta definición podemos decir que si “h” es pequeñoentonces:(Note el símbolo de aproximación). Esto nos da inmediatamente la primera formulanumérica para aproximar la derivada:Antes de ver algunos ejemplos donde usamos esta formula,tratemos decontestar la pregunta de ¿cuán buena es esta aproximación de la derivada? Por elTeorema de Taylor sabemos que:Donde esta entre x y x+h. Si despejamos ahora en esta formulapor f’(x) yusamos la definición de tenemos que:Esta formula nos dice que aproxima a f’(x) con un error proporcional a “h”,i.e., O(h). Ejemplo 1: Tomamos y queremos aproximar cuyo valorexacto es nueve.En la siguiente figura ilustramos los errores como función de “h” en escalalogarítmica.Podemos ver que los errores disminuyen hasta un cierto valor crítico “hmin”