Diferencial

Contenido
Introducción. 4
Índice. 5
Ecuación Diferencial. 6
Solución de una ecuación diferencial. 8
Solución explícitas e implícitas. 8
Solución general. 9
Problema de valor inicial. 9
Existencia de una solución única. 11
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. 12
Ecuaciones exactas. 13
Ecuaciones lineales. 13
Es una ecuación lineal. 13
Soluciones por sustitución. 14MODELO DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. 15
Ecuaciones lineales. 15
Ecuaciones diferenciales ordinaria. 17
Ecuación diferencial ordinaria 17
Soluciones 18
Existencia y unicidad de soluciones 19
Soluciones analíticas 19
Soluciones numéricas 19
Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 19
Ecuación de variables separables 20
Ecuación exacta 20
Ecuaciónlineal 21
Ecuación de Bernoulli 21
Ecuación de Riccati 21
Ecuación de Lagrange 21
Ecuación de Clairaut 22
Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden 22
Ecuación lineal con coeficientes constantes 22
Ecuación diferencial de Euler o de Cauchy 23
Ecuaciones de Bessel 23
Ecuación de Legendre 24
Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior 24
Ecuación lineal deorden n con coeficientes constantes 24
Transformada de Laplace 25
Linealidad 25
Derivación 26
Integración 26
Dualidad 26
Desplazamiento de la frecuencia 26
Desplazamiento temporal 26
Desplazamiento potencia n-ésima 26
Convolución 26
Transformada de Laplace de una función con periodo p 26
Condiciones de convergencia 26
Tabla de las transformadas de Laplace selectas 27
Sistemasde Ecuaciones Diferenciales Lineales 29
TEORIA BASICA DE LOS SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN 32
SISTEMA LINEAL HOMOGÉNEO CON COEFICIENTES CONSTANTES 37
AUTOVALORES REPETIDOS 46
MATRIZ FUNDAMENTAL DE UN SISTEMA 50
SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS 53
FUNCIONES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER 55
Teorema de Dirichlet: Convergencia a una función periódica 56
Forma exponencial 57Formulación moderna 57
Formulación general 58

Introducción.

La construcción de modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real se ha destacado como uno de los aspectos más importantes en el desarrollo teórico de cada una de las ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelos implican una ecuación en la que una función y sus derivadas desempeñan papeles decisivos. Talesecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales. Como en la ecuación (x2 + y2) dx - 2xy dy =0, una derivada puede estar presente de manera implícita a través de diferenciales. La meta es de encontrar Métodos para resolver tales ecuaciones, esto es, determinar la función o funciones desconocidas que satisfagan una ecuación diferencial.

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucraderivadas de una función desconocida o una o más variables.

Índice.

Ecuación Diferencial.
En cálculo aprendimos que la derivada, dy/dx, de la función y=φ(x) es en sí, otra función de x quese determina siguiendo las reglas adecuadas; por ejemplo, si y= ex2 por el símbolo y se obtiene
Dy/dx= 2xy.
El problema al que nos encararemos en este curso no es “dada una función y= φ(x), determinar
Suderivada”. El problema es “dada una ecuación diferencial, como la ecuación 1, ¿Hay algún
Método por el cual podamos llegar a la función desconocida y = φ(x)”.
Definición. Una ecuación diferencial es aquella que contiene las derivadas de una o mas variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden ylinealidad.
Clasificación según el tipo.
Si una ecuación sólo contiene derivadas ordinarias de una
O más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice
Que es una ecuación diferencial ordinaria. Por ejemplo.

Son ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes, respecto...