Diferenciales

Universidad del Sureste de México
Matemáticas II
Profe: Fernando Aguilar
Lic. Ingeniería en Sistemas Computacionales
2º Semestre
Semis –Escolarizado
Germán Pérez Ruiz

Act. 1 Unidad Uno
Diferenciales




1. Diferenciales
No te has preguntado ¿Qué tan pequeña puede ser una variación?, por que sabemos que podemos imaginar el instante de tiempo tan pequeño como sequiera y decir que es infinitamente pequeña, o en nuestra notación matemática si Δt→0 luego Δx→0, siendo x la variable bajo observación. Pero luego no se refiere a ese límite que en verdad existe, la pregunta fue a la inversa, ya que mucho antes de que Δx alcance su límite al cero hay un momento en que deja de ser perceptible, en ese instante y después de él, dentro del proceso en que Δx→0, hemosalcanzado el diferencial escrito dx.
El diferencial es el concepto matemático asociado a la idea de que:

Observa que para propósitos prácticos con x + dx sigues ¡estando en x! el movimiento desde x es imperceptible; sin embargo, si sigues acumulando más “dx” llega un momento en que estás en un nuevo lugar, ¡ahora estás en x + Δx!
De la sección previa hemos obtenido un acercamiento a losdiferenciales y a los incrementos de una variable independiente, pero en la mayoría de los fenómenos que ocurren en nuestra vida diaria existen variables dependientes que son resultado de las variaciones en la variable independiente. ¿Qué ocurre en este caso con los diferenciales y los incrementos? ¿Son lo mismo? Ó los diferencia la misma característica que mencionamos en la sección previa,esperamos que eso se aclare en esta sección.
Del análisis en el curso previo de Cálculo Diferencial, concluimos que las funciones pueden ser una forma muy importante de representar modelos de los fenómenos.

En particular si el fenómeno bajo estudio puede ser modelado mediante una función entre dos variables, tendremos que se satisface una relación entre las variables independiente ydependiente de la forma y = f(x). Dicha función tiene evidentemente una gráfica que la representa y por otro lado se ha definido a la derivada como el cociente entre dos incrementos llevados al límite, recordemos tal definición:


Ahora veámosla gráficamente:
Figura 1: Diferenciales e incrementos.

Observa con cuidado la figura 1, mientras que Δx→0 y alcanza su valor imperceptible dx, se determina larelación f ’(x) = dy/dx. Sin embargo, la curva que representa el fenómeno se sigue recorriendo y en cierto momento cuando se tiene x + Δx, la función se encuentra en y + Δy. Por otro lado como el triángulo que determina la derivada ya se definió y resulta inamovible se tiene que define un cateto vertical de magnitud dy diferente de Δy. Luego en lo general dy ≠ Δy y únicamente son iguales enel límite, estrictamente cuando se satisface Δx→0. Observe que de la figura se tiene la relación exacta y + Δy = f(x + Δx).
Definición de diferencial
La forma en que hemos abordado el concepto de derivada, aunque existen varios conceptos, fue el encontrar la relación de la pendiente de la línea recta y´ =f ´(x) que era tangente a la función. Para un punto en particular podemos llegar a ladefinición de la derivada f '(x) y vimos que f '(x1) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=x1.

 
En particular, para una función y=f(x) para un valor inicial x0 se tiene la pendiente de la línea recta tangente en las coordenadas [x0,f(x0)], dada por la m=f'(x0). Cuya ecuación de la línea recta tangente queda entonces definida como:
y-f(x0)=m(x-x0)
Ante un cambio en lavariable x podemos determinar el incremento x0 por x0+dx, donde el incremento dx es comúnmente un incremento pequeño, pero no cero.
Analizando el sistema función y línea recta tangente a dicha función entonces podemos analizar que existen dos puntos importantes a analizar, los de la función y los de la recta tangente:
(1) Para referirnos al cambio que ocurre en el valor de f...