Diferenciales

1. Función
Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna.
Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.
f : D    
x      f(x) = y
Elsubconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.
El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.
Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego
y= f(x)
Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores realesque toma la variable y o f(x).
x      

Conjunto inicial Conjunto final
Dominio Conjunto imagen o recorrido

El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.
D = {x / f (x)}
El recorrido es el conjunto de elementos que son imágenes.
R = {f (x) / x D}
D = {x / f (x)}

2.1. Estudio del dominio de una función
Dominio de la función polinómica entera
El dominio es R,cualquier número real tiene imagen.
f(x)= x2 - 5x + 6             D=R
Dominio de la función racional
El dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede existir un número cuyo denominador sea cero).

Dominio de la función irracional de índice impar
El dominio es R.

Dominio de la función irrracional de índice par
El dominio está formado por todos los valores que hacen queel radicando sea mayor o igual que cero.

Dominio de la función logarítmica
El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero.

Dominio de la función exponencial
El dominio es R.
Dominio de la función seno
El dominio es R.
Dominio de la función coseno
El dominio es R.
Dominio de la función tangente

Dominio de la función cotangenteDominio de la función secante

Dominio de la función cosecante

Dominio de operaciones con funciones
Si relizamos operaciones con funciones, el dominio de la función resultante será:

2. Gráfica de funciones
Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función f le corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debepertenecer al dominio de definición de la función.
Como el conjunto de puntos pertenecientes a la función es ilimitado, se disponen en una tabla de valores algunos de los pares correspondientes a puntos de la función. Estos valores, llevados sobre el plano cartesiano, determinan puntos de la gráfica. Uniendo estos puntos con línea continua se obtiene la representación gráfica de la función.
x | 1 | 2 |3 | 4 | 5 |
f(x) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |

3.2. Grafo de una función
Grafo de una función es el conjunto de pares formados por los valores de la variable y sus imágenes correspondientes.
G(f) = {x, f(x) /x D(f)}

3. Clasificación de funciones
Funciones algebraicas
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición,sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser:
Funciones explícitas
En las funciones explícitas se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x - 2
Funciones implícitas
En las funciones implícitas no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.
5x - y - 2 = 0Funciones polinómicas
Las funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an xn
Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.
Funciones constantes
El criterio viene dado por un número real.
f(x)= k
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
Funciones polinómica de primer grado
f(x) = mx +n
Su...