Diferenciales

-Ecuaciones diferenciales ordinarias
Para obtener una mejor aproximación es necesario usar diferenciales, una razón de cambio infinitesimal se puede obtener limitando los incremento acero "0"

Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas o diferenciales (razones de cambio infinitesimales),
Encontramos integrando
Encontramos integrando

Lasecuaciones 1 y 2 son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, la característica de estas funciones es posible despejar la razón de cambio e integrar confacilidad, otro ejemplo de ecuaciones diferenciales son :

Esta es una ecuación diferencial de segundo orden, así llamado por el orden de la derivada. El orden de una ecuación diferencial esel mismo que el de la derivada de mayor orden que en ella aparece.
El orden de una ecuación diferencial está determinado por el orden de la derivada más grande dentro de la ecuacióndiferencial.

Diferencial total
De una función real de varias variables reales corresponde a una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes (coeficientes) son los delgradiente de la función.
Formalmente el diferencial total de una función es una 1-forma o forma pfaffiana y puede ser tratada rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de dimensiónn, donde n es el número de variables dependientes de la función.
Por ejemplo, si una función diferenciable entonces el diferencial total de z es:


Regla de la cadena
Sea f: U ÌRn ® Rm, y g: V Ì Rm ® Rp, tal que f(U) Ì V. Si f es diferenciable en aÎ Rn y g es diferenciable en f(a), entonces go f es diferenciable, y además:
D(go f) = D g(f(a)).D f(a)Observación: Por tanto J(go f)(a) = J g(f(a)).J f(a)
Ejemplo:
f(u, v) = (eu + v, eu - v):R ² ® R ²
g(x, y) = x.cos y :R ² ® R
g o f(u, v) = g(f(u, v)) = g(eu + v, eu - v) = eu + v.cos eu - v