Diferenciales

UNA APLICACIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES :
MOVIMIENTO VIBRATORIO FORZADO
   por :  Zulma H. MILLN, Patricia CUADROS, Laura OLIVA, 
Universidad Nacional de San Juan - Argentina
Facultad de Ingeniera - Departamento de Matemtica
pcuadros@unsj.edu.ar
Este trabajo surge con el objeto de mostrar la utilidad del software Maple V Release 5  como soporte didctico,  para lograr que estudiantes deIngeniera afiancen el manejo terico prctico de las ecuaciones diferenciales y problemas de aplicacin interactuando con la computadora.
El Clculo Simblico es la parte de la Informtica que disea, analiza, implementa y aplica algoritmos algebraicos.
Maple V permite efectuar clculos numricos y manipulaciones algebraicas con smbolos que representan objetos matemticos, obteniendo soluciones analticas,exactas a numerosos problemas. Se complementa con una amplia lista de opciones grficas. Usando aritmtica racional o de coma flotante con precisin arbitraria para aquellos problemas que requieran solucin numrica. Adems cuenta con un completo lenguaje de programacin que permite desarrollar procedimientos personales.
Tiene una hoja de trabajo de fcil uso, similar a de la mayora de los programasbajo Windows, pudiendo desarrollarse en ella documentos que son verdaderas estructuras interactivas. 
Nuestro  objetivo es aprovechar las caractersticas de este software para ser utilizado como soporte didctico, a fin de  que el estudiante concentre sus esfuerzos en afianzar conceptos, analizar problemas y visualizar soluciones, sin realizar clculos innecesarios.

Para lograr lo anteriormenteexpuesto se le provee al alumno de un instructivo con las sentencias bsicas de Maple V para el anlisis de problemas con ecuaciones diferenciales ordinarias.

Para resolver ecuaciones diferenciales se utiliza la sentencia:
> dsolve ( { ecuacin, condiciones iniciales} , y(x));
Algunos tipos de soluciones de ecuaciones diferenciales que pueden obtenerse son:  
 - Solucin Exacta
> dsolve ({ ecuacin, condiciones iniciales} , y(x), type=exact);   
 - Grfica de la solucin particular ( SP )
> plot ( SP, x=a..b ); 
 - Sistema Fundamental de Soluciones.
> F:= dsolve ( { ecuacin, condiciones iniciales} , y(x) , output = basis);                                                                                           
-  Solucin tipo serie
 > dsolve ( { ecuacin, condicionesiniciales} , y(x) , type = series);
- Solucin Numrica
> dsolve ( { ecuacin, condiciones iniciales} , y(x) , type = numeric);  F(c) ; 
- Grfica de la solucin particular obtenida en forma numrica en [a,b]              
> odeplot (F, [x,y(x)], a..b) ;
- Solucin por Transformada de Laplace
> dsolve ( {ecuacin, condiciones iniciales} , y(x), method=laplace); 
Se propone a los alumnosresolver el siguiente problema
MOVIMIENTO VIBRATORIO FORZADO

Considerando un sistema masa- resorte (muy usado en ingeniera para representar los problemas vibratorios) y aplicando la segunda ley de Newton ,el equilibrio de fuerzas resulta:
     ,
es una ecuacin diferencial ordinaria de segundo rden . Se resolvera un ejemplo de esta ecuacin con masa: m = 1 , amortiguamiento: c = 2  y rigidez:r = 1
>    | eq1:=diff(x(t),t$2)+2*diff(x(t),t)+x(t)=cos(3/4*t); |

>    | dsolve({eq1},x(t));  # Obtencin de la solucin general de la E.D.O. |

>    | ini:=x(0)=0,D(x)(0)=0;  # Condiciones iniciales del problema |

>    | f1:=dsolve({eq1,ini},{x(t)});  # Solucin particular de E.D.O. |

>    | simplify(%); |

>    |plot(rhs(f1),t=0..30,x=-1..1,labels=[t,x],title=`Solucin Particular`,thickness=2); |

>    | g1:=plot(rhs(f1),t=0..20,x=-1..1,labels=[t,x], color=red): #Se guarda la informacin de la grfica. |
Se observa que la solucin esta compuesta por dos partes: una los trminos que forman la solucin transitoria, llamada as porque a los pocos ciclos se amortigua completamente por efecto del exponencial negativo; y otra parte que es la solucin...