Diferenciales

Herramienta matemática que nos permite trabajar sobre espacios tangentes de diferentes variedades diferenciables aprovechado las buenas propiedades de unos bien conocidos sobre otros que casi noconocemos.
Eslabón necesario para construir la teoría de geometría diferencial y generalizar su estudio.

Como se ha señalado una variable continua presenta su posibilidad de cambio como cualidadesencial y en particular si en una situación se tiene una variable independiente x, se define al diferencial como aquella cantidad diferente de cero que satisface la cualidad:
;
O bien:

Hasta estepunto, la definición del diferencial de una variable independiente no presenta ninguna cualidad diferente respecto a los incrementos que hagan necesaria y útil su definición; sin embargo, su importanciay utilidad se presenta cuando analizamos que ocurre en una función.
Una función cualquiera en un punto x0 dado se puede “aproximar linealmente” y esta aproximación es válida en puntos muy cercanos alx deseado, siempre que la función se aproxime mediante su recta tangente en el punto, como se muestra en la siguiente figura.

Fig. 1: Aproximación lineal de una función en un punto

De la figura1 se puede observar que la ecuación de la recta tangente que aproxima a la función dada en el punto x0 resulta ser:
y – y0 = f ´(x0) (x – x0)
Pero la “aproximación lineal” es válida para valores dex muy cercanos a x0, ya que conforme x se aleja de x0, el error de la aproximación crece cada vez más ya que representa la separación entre la curva de f(x) y la recta tangente, luego la diferenciaΔx = (x – x0)→0, es decir, en el límite resulta ser dx de acuerdo a nuestra definición previa, pero de la misma forma se puede observar que Δy = y – y0 por lo que sustituyendo en la ecuación de larecta tangente resulta:
dy = f´(x0) dx
Dicha cantidad dy = f´(x0) dx se denomina “diferencial de la función” en el punto x0 y su significado se puede observar en la figura 2. Es importante señalar...