Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales
Ejercicio 1

Un tanque está lleno con 10 galones (abreviación gal) de agua salada en la cual están disueltas 5lb de sal. Si el agua salada está conteniendo 3lb de sal por gal que entra al tanque a 2 gal por minuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.

* Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.
* ¿Cuánta sal está presente despuésde 10min?
* ¿Cuánta sal está presente después de un tiempo largo?

Sea A el número de libras de sal en el tanque después de t minutos. Luego dA / dt es la tasa de cambio de esta cantidad de sal en el tiempo y está dada por:

dA / dt = tasa de cantidad ganada − tasa de cantidad perdida

Puesto que entran 2gal/min, conteniendo 3lb/gal de sal tenemos que la cantidad de sal que entra porminuto es:

2gal / min. x 3 lb./gal = 6 lb./min

Lo cual es la tasa a la cual se gana sal. Puesto que siempre hay 10 gal en el tanque y debido a que hay A libras de sal en cualquier tiempo t, la concentración de sal al tiempo t es A libras por 10gal. La cantidad de sal que sale por minuto es, por tanto:

Alb / 10gal x 2gal / min. = 2A lb. / 10min. = A lb./ 5min.

de: (dA / dt),(6 lb./min.) y(A lb./5min) tenemos que: dA / dt = 6 − A/5.

Puesto que inicialmente hay 5lb. de sal, tenemos que A=5 en t = 0. Así, la formulación matemática completa es:

dA / dt =6 − A/5 A = 5 en t = 0

" (dA / 30 − A) = " (dt / 5) ó − ln (30 − A) = t / 5 + c

Puesto que A = 5 en t = 0, c = − ln 25. Así,

− ln (30 − A) = t/5 − ln 25

RPTA 1: Reduciendo tenemos que la cantidad de sal(A) encualquier minuto seria: A = 30 – 25e-t/5

La cual es la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t.

RPTA 2: Al final de los 10min. la cantidad de sal es A = 30 − 25 e-² = 26.6 lb.

RPTA3: Después de un tiempo largo, esto es, cuando t = x, vemos que Ax=30 lb., Esto también podría ser visto desde la ecuación diferencial haciendo dA / dt = 0, puesto que también A es una constante cuando sealcanza el equilibrio.
Ejercicio 2

Un tubo largo de acero de conductividad térmica k = 015 unidades cgs, tiene un radio interior de 10 cm y un radio exterior de 20 cm. La superficie interna se mantiene a 20°C y la superficie exterior se mantiene a 50°C. (a) Encuentre la temperatura como una función de la distancia r del eje como de los cilindros concéntricos. (b) Encuentre la temperatura cuandor = 15 cm y (c) ¿Cuánto calor se pierde por minuto en la parte del tubo de 20m de largo?

Sabemos que las superficies isotérmicas son cilindros concéntricos con los cilindros dados. El área de tal superficie con radio r y longitud l es 2_rl. La distancia dn en este caso dr. Así, la ecuación

q = − KA dU/dn

Puede escribirse como: q = − K(2rl) dU/dr.

Puesto que K = 0.15, l = 20 m = 2000cm, tenemos que:

q = − 600 r dU/dr.

De esta última ecuación, q es por supuesto una constante. Las condiciones son U = 200°C en r = 10, U = 50°Cen r = 20

Solución:

Separando las variables en q = − 600_r dU/dr. e integrando se obtiene:

−600_U = q ln r + c

Usando las condiciones U = 200°C en r = 10, U = 50°C en r = 20 tenemos − 600 (200) = q ln 10 + c, −600 (50) = q ln 20 + c dedonde obtenemos q = 408.000, c = 1.317.000. Por tanto, de:
− 600_U = q ln r + c encontramos que U = 699 − 216 ln r.
Si r = 15, encontramos por sustitución que U = 114°C. Del valor anterior de q, el cual está en calorías por segundo.

Es claro que la respuesta a la parte (c) es Q= 408.000 x 60cal/min. = 24 480.000cal/min.

Ejercicio 3

Un cuerpo que pesa 2lb. Se en estira un resorte 6plg.Dicho cuerpo se suelta en t = 0 desde un punto que está 8plg bajo la posición de equilibrio, con una velocidad dirigida hacia arriba de 4/3 pie/seg. Determine la función x(t) que describe el movimiento libre resultante.

Puesto que estamos usando el sistema de unidades inglesas gravitatorias, las magnitudes dadas en pulgadas deben expresarse en pies: 6plg = 6/12 = 1/2 pie, 8plg = 8/12 = 2/3 pie....