Diferencias Divididas con Nodos Repetidos

Diferencias Divididas con Nodos Repetidos
m0+1 es igual a la cantidad que contiene los valores repetitivos de x0,……x0
m1+1 es igual a la cantidad que contienelos valores repetitivos de x1,……x1
…..
…..
….
mn+1 es igual a la cantidad que contiene los valores repetitivos de xn,……xn
Supongamos que xi < xi+1 para i = 0, …… ,n − 1 y renombremos la sucesión anterior como zi con i = 0, . . . , N donde N = n + m0 + m1 + . . . + mn
Teorema
En las condiciones anteriores el polinomiointerpolador de Hermite se puede escribir como:
PN(x) = f [z0] +


f [zi, . . . ,zj]








Con esta tabla se obtiene la fórmula de Newton para el interpolante deHermite con dos nodos:

 

xi
f(X)=Orden 0
D.D Orden 1
D.D Orden 2
D.D Orden 3
D.D Orden 4
Z0
x0
f(x0)
 
 
 
 
Z1
x0
f(x0)
f[X0,X0]=d0
 
 
 
Z2
x0
f(x0)
f[X0,X0]=d0f[X0,X0,X0]=d"f(X0)/2=A
 
 
Z3
x1
f(x1)
f[X0,X1]=P1
f[X0,X0,X1]=(P1-d0)/h=B
f[X0,X0,X0,X1]=(B-C)/h
 
Z4
x1
f(x1)
f[X1,X1]=d1
f[X0,X1,X1]=(d1-P1)/h=Cf[X0,X0,X1,X1]=(c-B)/h
f[X0,X0,X0,X1,X1]=(2C-2B)/h²

PN(x)=f(x0)+d0(x-x0)+A(x-x0)2+[(B-C)/h](x-x0)2(x-x1)+[(2C-2B)/h2](x-x0)2(x-x1)2

Ejemplo:
f(x) = cos x, [0, 1], x0 = 0, x1 =1, m0 = 2 y m1 = 1
z0 = 0, z1 = 0, z2 = 0, z3 = 1 y z4 = 1
p4(x) = f[z0 ] + f[z0 , z1 ](x − z0) + f[z0 , z1 , z2 ](x − z0)(x − z1) + f[z0 , z1 , z2 , z3 ](x − z0)(x− z1)(x − z2) + f[z0 , z1 , z2 , z3 , z4 ](x − z0)(x − z1)(x − z2)(x − z3)

xi
f(X)=Orden 0
D.D Orden 1
D.D Orden 2
D.D Orden 3
D.D Orden 4
Z0
0
1
 
 
 
 
Z1
0
1
0
  
 
Z2
0
1
0
-0.5
 
 
Z3
1
0.5403
-0.4597
-0.4597
0.0403
 
Z4
1
0.5403
-0.84147
-0.38177
0.0779
0.037622

p4(x) = 1 − 0,5 x 2 + 0,0403 x 3 + 0,037622 x 3(x − 1)