Diferencias Entre La Teoría De Euler-Bernoulli y Timoshenko Para El Estudio De Vigas a Flexión

Diferencias entre la teoría de
Euler-Bernoulli y Timoshenko para el
Estudio de vigas a flexión



Marco Antonio Molina Paredes
GR1
Ing. Iván Zambrano

Septiembre 2010 - Enero 2011

El modelo de flexión: Teoría de Bernouilli-Euler
El modelo de se basa en las siguientes hipótesis:
 Se supone planitud de la sección transversal antes y después de la deformación
 Se supone lapresencia solamente de un estado uni-axial de tensiones en la dirección del eje lo que implica existencia de flexión pura.
 El material es isótropo, homogéneo y verifica la ley de Hooke
 La viga es recta con sección constante y de doble simetría en todo el dominio.
En estas circunstancias las ecuaciones de equilibrio de la viga vienen dadas por el siguiente modelo matemático:

Siendoqy(x) y qz(x) funciones de distribución de carga, en tanto que My y Mz son los momentos flectores en las direcciones y y z. Los momentos flectores pueden escribirse en función de los desplazamientos como:

Siendo uyo y uzo los desplazamientos del centroide (ubicado en la línea neutra) de la sección en las direcciones y y z. Por otro lado, se tendrá presente la relación existente entre los momentosflectores y los esfuerzos cortantes, definida por:

Las rotaciones flexionales se definen de la siguiente manera:

Queda claro que los momentos flectores son proporcionales a las derivadas primeras de las rotaciones flexionales. Por otro lado, los signos de los momentos flectores y rotaciones se pueden fijar por convención previamente declarada o bien de acuerdo con las direcciones delsistema de referenciación.
Se puede apreciar que para la solución de es necesario contar con una serie de condiciones de borde en términos de los desplazamientos, las cuales se discriminan en la siguiente Tabla.

Por otro lado la ecuación de resistencia que relaciona los esfuerzos con las tensiones, en un punto ( y, z) de la sección de la viga (Ver Figura 2.36a), viene dada por la siguienteexpresión:


(a) Sección resistente a flexión (b) esquema para el cálculo de tensiones cortantes
(b)
Ahora bien, para el cálculo de la tensión de corte en la sección transversal se tendrán las siguientes expresiones:

Donde by y bz son los anchos de la faja donde se calcula el estado tensional en las direcciones y y z respectivamente, según se ve en la Figura, y además:

Las tensionescortantes máximas se obtendrán en los ejes neutros y es claro que la valoración de las mismas dependerá del tipo de sección. En la siguiente Figura se muestra unos casos típicos de tensiones máximas en la dirección y.

Casos típicos de tensiones cortantes máximas

El modelo de flexión: Teoría de Timoshenko
La teoría de Timoshenko se basa en las siguientes hipótesis:
 Se supone planitud de lasección transversal antes y después de la deformación
 Se supone la presencia solamente de un estado uni-axial de tensiones en la dirección del eje lo que implica existencia de flexión pura.
 El material es isótropo, homogéneo y verifica la ley de Hooke
 La viga es recta con sección constante y de doble simetría en todo el dominio.
 Se supone la presencia de un estado de tensionescortantes en la sección de la viga.
 La rotación flexional se considera como una variable independiente no asociada con los desplazamientos flexionales.

Para deducir las ecuaciones de equilibrio de flexión según la teoría de Timoshenko se empleará el principio de trabajos virtuales considerando los desplazamientos virtuales como entidades arbitrarias.

Ahora bien, de acuerdo con lashipótesis de la teoría, el campo de desplazamiento para una viga en flexión se puede reducir a las siguientes expresiones:

Ahora reemplazado en las relaciones para hallar las deformaciones se tiene:

Con la descripción cinemática puesta en evidencia en las expresiones es claro que plano de la sección transversal (que se mantiene siempre plana) de la viga, no es perpendicular al eje neutro...