Diferencias entre semejanza y proporcionalidad geométrica desde una perspectiva histórica

Diferencias entre semejanza y proporcionalidad geométrica desde una perspectiva histórica
Aura Lucia Quintero, María Judith Molavoque & Edgar Alberto Guacaneme

Resumen: El análisis de la teoría contenida en los Libros V y VI de Elementos de Euclides permite advertir que si bien allí se expresan definiciones y proposiciones sobre la semejanza geométrica, la proporcionalidad geométrica nose reduce a ésta. En este contexto teórico, la semejanza es una relación entre figuras rectilíneas, en tanto que la proporcionalidad geométrica alude a relaciones, de segundo orden, entre relaciones de magnitudes geométricas homogéneas. No obstante esta caracterización que les diferencia, existe una interesante relación entre éstas.

Introducción
En el marco de la Maestría en Docencia de laMatemática de la Universidad Pedagógica Nacional, estamos desarrollando un trabajo de grado que pretende dar cuenta del tratamiento que de la proporcionalidad geométrica se hace en algunos libros de texto de la Educación Básica. Tal empresa académica nos ha llevado, de manera natural, a preguntarnos sobre qué es la proporcionalidad geométrica y de qué manera ésta se relaciona con la semejanzageométrica o con las homotecias. La búsqueda de respuestas satisfactorias a algunas de estas cuestiones, aparentemente triviales, aunada a una valoración especial de las teorías matemáticas y de la Historia de las Matemáticas, nos condujo a estudiar una teoría de la proporcionalidad geométrica de hace más de una veintena de siglos, en donde reconocemos alguna información importante para la distinción entresemejanza y proporcionalidad geométrica: los Libros V y VI de Elementos de Euclides.

En lo que sigue, con el ánimo de compartir las aproximaciones logradas con otros profesores e interesados en estas cuestiones, y bajo la esperanza de que éstas puedan brindarles mejores niveles de conciencia frente a su conocimiento matemático, sintetizaremos el trabajo realizado y los asuntos centrales de losresultados alcanzados. Para ello, inicialmente presentaremos algunas generalidades de la proporcionalidad en los libros citados, para luego concentrarnos en el estudio del Libro VI e intentar establecer así las diferencias entre la proporcionalidad geométrica y la semejanza.

Proporcionalidad geométrica en Elementos
Sin lugar a dudas los Libros V y VI de Elementos constituyen uno de los hitosde la historia de la proporcionalidad geométrica; la teoría hipotético-deductiva allí expuesta, no sólo recapituló y organizó un abundante legado matemático, sino que durante muchos siglos fue acicate y guía en la construcción de conocimiento matemático.

El Libro V da cuenta de una teoría generalizada de las razones y proporciones, en tanto que elabora un discurso para las magnitudesgeométricas euclidianas (longitud, superficie, volumen, amplitud angular), o de manera más precisa para las cantidades de tales magnitudes, sin aludir a una de ellas en específico y sin incorporar por ello números que representen la medida de tales cantidades de magnitud. En este libro no se alude a la semejanza geométrica, motivo por el cual no haremos mayor referencia a su contenido.
El Libro VI, por suparte, expresa en su conjunto una teoría para figuras y sus cantidades de magnitudes geométricas específicas. Es precisamente en el marco de ésta en donde se encuentra la referencia a la semejanza entre figuras rectilíneas; de manera general y preliminar se puede señalar que en este libro aparecen proposiciones que establecen proporciones entre razones de cantidades de magnitud geométricaespecífica y proposiciones referidas a la semejanza, establecida a través de la primera definición del Libro VI, algunas de las cuales hoy en día identificamos como criterios de semejanzas entre triángulos. Veamos con más detalle el contenido del libro en cuestión.

Proporcionalidad geométrica y semejanza en el Libro VI de Elementos
En el Libro VI de Elementos de Euclides encontramos cinco...