Diferencias Finitas Diferencias hac a adelante

Diferencias Finitas ó Diferencias hacía adelante
En cursos de cálculo diferencial e integral se estudia cómo obtener las derivadas o integrales de
una función f(x), y s puede observar que un buennúmero de casos no tienen solución analítica,
como lo son:
2

∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥

∫

𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥

𝑑𝑥

Las diferencias finitas son algunos de los métodos desarrollados en el análisis numérico para
derivar o integrarfunciones definidas en forma tabular; ya sea obtenidas como el resultado de
algún experimento o simplemente tabulando para la función que se desea integrar o derivar.

Diferencias y polinomio denewton de una función tabular
Para desarrollar los métodos básicos se parte de una función continua y diferenciable en el
intervalo 𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑛 , de la cual solo se conocen algunos puntos tabulados.Cuando las diferencias de una función tabulada no se hacen constantes en ningún momento pero,
en la j-ésima etapa son muy semejantes, se puede utilizar el polinomio como una aproximación de
la solución.Ejemplo
Obtener las diferencias hacia delante de la función definida en forma tabular de la siguiente tabla.
x
0
1
2
3
4
5

y=F(x)
-5
1
9
25
55
105

Solución
Las primeras diferencias son,
∆𝑦0 = 𝑦1 −𝑦0 = 1 − (−5) = 6
∆𝑦1 = 𝑦2 − 𝑦1 = 9 − 1 = 8
∆𝑦2 = 𝑦3 − 𝑦2 = 25 − 9 = 16
∆𝑦3 = 𝑦4 − 𝑦3 = 55 − 25 = 30
∆𝑦4 = 𝑦5 − 𝑦4 = 105 − 55 = 50

Las segundas son:
∆2 𝑦0 = ∆𝑦1 − ∆𝑦0 = 8 − 6 = 2
∆2 𝑦1 = ∆𝑦2 − ∆𝑦1 =16 − 8 = 8
∆2 𝑦2 = ∆𝑦3 − ∆𝑦2 = 30 − 16 = 14
∆2 𝑦3 = ∆𝑦4 − ∆𝑦3 = 50 − 30 = 20

Las terceras son
∆3 𝑦0 = ∆2 𝑦1 − ∆2 𝑦0 = 8-2=6
∆3 𝑦1 = ∆2 𝑦2 − ∆2 𝑦1 = 14 − 8 = 6
∆3 𝑦2 = ∆2 𝑦3 − ∆2 𝑦2 = 20 − 14=6Ordenando las diferencias en una tabla.

x
0

y=F(x)
-5

1

1

2

9

3

25

∆y

∆2

∆3

∆4

6
2
8

6
8

16

6
14

30
4

0

55

0
6

20
50

5

105

debido a que las terceras diferecncias son constantes,todas las demás diferencias hacia adelante
serán cero y se puede concluir que la función tabulada corresponde a un polinomio de tercer
grado de la forma:
𝑦 = 𝐹(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥 2 + 𝑏3 𝑥 3...